Limites y continuidad

UNIDAD ACADÉMICA Nº 06:

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE

INDICADORES DE LOGRO

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:
* Define el concepto de límite de funciones de más de una variable.
* Define el concepto de continuidad de funciones de más de una variable.
* Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios deaplicación.

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE
La definición del límite de una variable involucra la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. El límite de una función de más de una variable también implica la distancia entre dos puntos; por lo que se inicia el estudio de estos límites con la definición de distancia entre dos puntos de Rn.
En R la distanciaentre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos números reales. Esto es, x - a es la diferencia entre los puntos x y a de la recta numérica real. En R2 de la distancia entre los puntos P (x, y) y P0 (X0, Y0) está dada por la expresión (x-x0)2+ (y-y0)2. En R3 la distancia entre los puntos P (x, y, z) y P0 (x0, y0, z0) está determinada por (x-x0)2+ (y-y0)2+(z-z0)2. En Rn la distanciaentre dos puntos se define de manera análoga.

2.1 DEFINICIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE Rn
Si P(x1, x2 …xn) y A(a1, a2…an) son dos puntos de Rn entonces la distancia entre P y A, denotada por P-A, está determinada por
P-A= (x1-a1)2+(x2-a2)2+…+(xn-an)2

El símbolo P-A representa un número no negativo y se lee como “la distancia entre P y A”.
En R2 y R3, la fórmula de ladefinición 2.1 se transforma, respectivamente, en x-a= x-a
x,y-x0, y0= (x-x0)2+ (y-y0)2
x,y,z-x0, y0,z0= (x-x0)2+ (y-y0)2+ (z-z0)2

Bola cerrada B [a, r] en R
FIGURA 2
a
a + r
a - r

Bola abierta B [a, r] en R
FIGURA 1

2.2 DEFINICIÓN DE BOLA ABIERTA EN Rn
Si A es un punto de Rn y r es un número positivo, entonces la bola abierta B(A; r) es el conjunto de todos los puntos P de Rn talesque P-A < r.

a
a + r
a - r

2.3 DEFINICIÓN DE BOLA CERRADA EN Rn
Si A es un punto de Rn y r es un número positivo, entonces la bola cerrada B (A; r) es el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que: P-A≤ r.
Con el fin de ilustrar estas definiciones, se muestra lo que ellas significan en R, R2 y R3. En primer lugar, si a es un punto de R, entonces la bola abierta B (a; r) es elconjunto de todos los puntos x de R tales que x - a < r
r

FIGURA 3
(x0, y0)

Bola abierta B ((x0, y0); r) = en R2

El conjunto de puntos que satisface esta ecuación es el conjunto de todos los puntos del intervalo abierto (a – r, a + r); de modo que la bola abierta B (a; r) en R (refiérase a la figura 1) es simplemente el intervalo abierto cuyo punto medio es a cuyos extremos son a – r y a+ r. La bola cerrada B [a; r] en R (Figura 2) es el intervalo cerrado [a – r, a + r].
Si (x0, y0) es un punto de R2, entonces, la bola abierta B (x0, y0); r) es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R2 tales que (x- x0)2+ (y- y0)2 < r.

r

(x0, y0)

Bola cerrada B [(x0, y0); r] en R2

FIGURA 4

Por lo que la bola abierta B (x0, y0); r) en R2 (figura 3) consta de todos lospuntos de la región interior limitada por la circunferencia que tiene su centro en (x0, y0) y radio r. En ocasiones se llama disco abierto a una bola abierta R2. La bola cerrada, o disco cerrado, B [(x0, y0); r] de R2 (figura 4) es el conjunto de todos los puntos de la bola abierta B [(x0, y0); r] y la circunferencia con centro en (x0, y0) y radio r.

Si (x0, y0, z0) es un punto de R3, entonces labola abierta B ((x0, y0, z0); r) es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) de R3 tales que:

(x- x0)2+ (y- y0)2+ (z- z0)2 < r

r

(x0, y0, z0)

Bola abierta B ((x0, y0, z0); r) en R3

FIGURA 4

Por tanto, la bola abierta B ((x0, y0, z0); r) en R3 (figura 5) consiste de todos los puntos de la región interior limitada por la esfera que tiene centro en (x0, y0, z0) y radio r....