Logica y Conjuntos
Páginas: 50 (12480 palabras)
Publicado: 22 de agosto de 2011
Lógica y Conjuntos
La teoría de conjuntos es un sistema de representación matemático con un lenguaje específico. Al igual que otros sistemas matemáticos, consta de conceptos básicos, definiciones, operaciones y propiedades.
La teoría de conjuntos permite sistematizar nuestros procesos mentales y mejorar nuestra capacidad de análisis. Facilita la comprensión de las interrelaciones queexisten entre todas las partes de un problema.
La teoría de conjuntos ayuda notablemente a desarrollar ciertas ideas matemáticas en temas tales como funciones, probabilidad, etc. Es tan valiosa que ha llegado a afectar significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas. Esta teoría fue desarrollada en los siglos XIX y XX, para darle mejor fundamento y mayor precisiónal lenguaje de la matemática.
Definición y notación de conjuntos
Un conjunto es una colección de “objetos” (como números, personas, letras, etc.) relacionados entre sí. Cada “objeto” dentro de un conjunto se llama un elemento.
Ejemplo 1:
Encontrar todos los divisores positivos de 28:
Los divisores de 28 son:
Para hablar de un conjunto son necesarios algunosrequisitos:
a) La colección de objetos debe de estar definida.
b) Ningún objeto del conjunto se debe contar más de una vez.
c) El orden en que se enumeren los objetos carece de importancia.
Para simbolizar los conjuntos emplearemos letras mayúsculas. La simbología que se adopta es la siguiente.
Las llaves significan “conjunto formado por” y lo que queda dentro de ellas constituyen ladescripción del conjunto, o de sus elementos. A los elementos que forman el conjunto los denotaremos con letras minúsculas.
Ejemplo 2:
Escribe el conjunto con las vocales de la palabra matemáticas:
Las vocales de la palabra matemáticas son:
Solo se escriben una vez las vocales; no importa el orden.
Para escribir un conjunto emplearemos llaves, abriendo la llave porel lado izquierdo y cerrándolo por el lado derecho, entre estas dos llaves estarán los elementos del conjunto separados por comas.
Existen tres maneras distintas de especificar un conjunto:
Especificación de conjuntos:
a) Método de enumeración o “por extensión”
b) Descripción verbal
c) Método descriptivo o por “comprensión”
a) Método de enumeración o “por extensión”: Consisteen elaborar una lista de todos los elementos, separándolos mediante comas y encerrándolos entre llaves.
Ejemplo 3:
El conjunto de las vocales
El conjunto de los dígitos
b) Descripción verbal: Consiste en una descripción verbal que expresa necesaria y únicamente los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer al conjunto.
Ejemplo 4:
A = El conjuntode los países de América Latina.
B = El conjunto de los paralelogramos.
c) Método descriptivo o por “comprensión”: Mediante el uso de una variable genérica, es decir, un indicador de elementos y una frase o relación matemática que especifique con toda precisión los elementos que se estén generando, todo ello encerrado por llaves.
Ejemplo 5:
.
La barra vertical se lee “tal que”.
D= {x|x sea un río de la República Mexicana}
La relación que existe entre un conjunto y sus elementos la llamaremos de pertenencia, que se simboliza con la letra griega (épsilon). Si a es un elemento
que pertenece al conjunto A, se escribe a A; para indicar que no pertenece,
a A.
Ejemplo 6:
Ejercicios:
1.¿Cuál de las siguientes descripcionesdefinen a un conjunto?
a) A = Los números con más suerte en la lotería.
b) B = Los pares mayores de 20.
c) C = Los libros más interesantes de México.
d) D = Los dígitos del número 2240 = {2,2,4,0}
e) E = { x|x + 4 = 9}
2. Si A = { Mario, Mariano} B = {Julio, Ernesto}, ¿Cuál de los siguientes resultados es correcto?
a) Mario A
b) Julio B
c) A B
d) César B
3....
La teoría de conjuntos es un sistema de representación matemático con un lenguaje específico. Al igual que otros sistemas matemáticos, consta de conceptos básicos, definiciones, operaciones y propiedades.
La teoría de conjuntos permite sistematizar nuestros procesos mentales y mejorar nuestra capacidad de análisis. Facilita la comprensión de las interrelaciones queexisten entre todas las partes de un problema.
La teoría de conjuntos ayuda notablemente a desarrollar ciertas ideas matemáticas en temas tales como funciones, probabilidad, etc. Es tan valiosa que ha llegado a afectar significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas. Esta teoría fue desarrollada en los siglos XIX y XX, para darle mejor fundamento y mayor precisiónal lenguaje de la matemática.
Definición y notación de conjuntos
Un conjunto es una colección de “objetos” (como números, personas, letras, etc.) relacionados entre sí. Cada “objeto” dentro de un conjunto se llama un elemento.
Ejemplo 1:
Encontrar todos los divisores positivos de 28:
Los divisores de 28 son:
Para hablar de un conjunto son necesarios algunosrequisitos:
a) La colección de objetos debe de estar definida.
b) Ningún objeto del conjunto se debe contar más de una vez.
c) El orden en que se enumeren los objetos carece de importancia.
Para simbolizar los conjuntos emplearemos letras mayúsculas. La simbología que se adopta es la siguiente.
Las llaves significan “conjunto formado por” y lo que queda dentro de ellas constituyen ladescripción del conjunto, o de sus elementos. A los elementos que forman el conjunto los denotaremos con letras minúsculas.
Ejemplo 2:
Escribe el conjunto con las vocales de la palabra matemáticas:
Las vocales de la palabra matemáticas son:
Solo se escriben una vez las vocales; no importa el orden.
Para escribir un conjunto emplearemos llaves, abriendo la llave porel lado izquierdo y cerrándolo por el lado derecho, entre estas dos llaves estarán los elementos del conjunto separados por comas.
Existen tres maneras distintas de especificar un conjunto:
Especificación de conjuntos:
a) Método de enumeración o “por extensión”
b) Descripción verbal
c) Método descriptivo o por “comprensión”
a) Método de enumeración o “por extensión”: Consisteen elaborar una lista de todos los elementos, separándolos mediante comas y encerrándolos entre llaves.
Ejemplo 3:
El conjunto de las vocales
El conjunto de los dígitos
b) Descripción verbal: Consiste en una descripción verbal que expresa necesaria y únicamente los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer al conjunto.
Ejemplo 4:
A = El conjuntode los países de América Latina.
B = El conjunto de los paralelogramos.
c) Método descriptivo o por “comprensión”: Mediante el uso de una variable genérica, es decir, un indicador de elementos y una frase o relación matemática que especifique con toda precisión los elementos que se estén generando, todo ello encerrado por llaves.
Ejemplo 5:
.
La barra vertical se lee “tal que”.
D= {x|x sea un río de la República Mexicana}
La relación que existe entre un conjunto y sus elementos la llamaremos de pertenencia, que se simboliza con la letra griega (épsilon). Si a es un elemento
que pertenece al conjunto A, se escribe a A; para indicar que no pertenece,
a A.
Ejemplo 6:
Ejercicios:
1.¿Cuál de las siguientes descripcionesdefinen a un conjunto?
a) A = Los números con más suerte en la lotería.
b) B = Los pares mayores de 20.
c) C = Los libros más interesantes de México.
d) D = Los dígitos del número 2240 = {2,2,4,0}
e) E = { x|x + 4 = 9}
2. Si A = { Mario, Mariano} B = {Julio, Ernesto}, ¿Cuál de los siguientes resultados es correcto?
a) Mario A
b) Julio B
c) A B
d) César B
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