Logica Y Conjuntos

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142
Primer Semestre

CAPITULO I
LOGICA Y CONJUNTOS.
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
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Lógica

“La lógica es la herramienta con que
se construye el edificio llamado Matemática”

Conceptos primitivos
Los valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los conceptosprimitivos de la lógica.

Proposición
Una proposición es una sentencia (expresión) sujeta a un valor de verdad.
Usualmente se denotan por letras minúsculas p, q , r , s, etc.

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Lógica
Ejemplos
¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones ?
¿ Es esto verdadero ?
Hoy es martes
10 es un número primo
El sol y el cielo
Todos los alumnos de este curso son estudiosos
La realidad dela vida

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Lógica

Conectivos lógicos
Un conectivo lógico es una operación que nos permite obtener nuevas
proposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos básicos son:
negación

(∼)

(“no”)

conjunción

(∧)

(“y”)

disyunción

(∨)

(“o”)

condicional

(→)

bicondicional

(↔)

(“si. . . , entonces”)
(“si y sólo si”)

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Lógica
Tipos de proposicionesLas proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, las
que no incluyen conectivos lógicos, y las que sí los incluyen.
Valores posibles de dos proposiciones dadas

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

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Lógica

Negación (∼)
Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe ∼ p, a la
proposición “no p”. Esto significa que ∼ p es V si p es F , y ∼p es F si p
es V .

TABLA DE VERDAD
p

∼p

V

F

F

V

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Lógica

Conjunción (∧)
Dadas dos proposiciones p y q , la conjunción de ellas es la proposición
“p y q ”, la cual se escribe p ∧ q . La proposición p ∧ q es V si ambas lo son,
y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.
TABLA DE VERDAD
p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

7Lógica

Disyunción (∨)
Dadas dos proposiciones p y q , la disyunción de ellas es la proposición “p
o q ”, la cual se escribe p ∨ q . La proposición p ∨ q es V si al menos una
de ellas lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son.
TABLA DE VERDAD
p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

8

Lógica
Condicional (→)
Dadas dos proposiciones p y q , lacondicional de ellas es la proposición
“si p entonces q ”, la cual se escribe p → q . Aquí, p se llama antecedente
y q consecuente. También, p → q se lee “p es condición suficiente para
q ”, o bien “q es condición necesaria para p”. La proposición p → q es F
sólo si p es V y q es F .
TABLA DE VERDAD
p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V
9

Lógica
Bicondicional(↔)
Dadas dos proposiciones p y q , la bicondicional de ellas es la proposición
“p si y sólo si q ”, la cual se escribe p ↔ q . También, p ↔ q se lee “p es
condición necesaria y suficiente para q ”. La proposición p ↔ q es V sólo
si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
TABLA DE VERDAD
p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

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LógicaDefiniciones varias
Una proposición se dice una:

TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V ,
cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones
simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad sólo
contiene valores V .
CONTRADICCION, si ella es siempre F .
CONTINGENCIA, si no es tautología ni contradicción.

11

Lógica

Implicación lógica
Dadas dosproposiciones p y q , se dice que p implica lógicamente q , si la
proposición p → q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p ⇒ q y
se lee “p implica q ”.
Equivalencia lógica
Dadas dos proposiciones p y q , se dice que ellas son lógicamente
equivalentes, si la proposición p ↔ q es siempre verdadera. En tal caso
se escribe p ⇔ q y se lee “p es equivalente a q ”.

12

Lógica
Algunas...