logica

Teoría de Conjuntos


Entenderemos a un conjunto como una colección o grupo de objetos “bien definidos” y los elementos como objetos miembros de un conjunto.
Los conjuntos los anotaremos por letras mayúsculas: A, B, C,…….
Los elementos del conjunto por letras minúsculas: a, b, c,………….

Observación.

Si A es un conjunto cualquiera y “a” es un elemento de el, anotaremos(a pertenece al conjunto A), de lo contrario si “a” no pertenece a A anotaremos .


Un conjunto se puede definir por:

Comprensión. Dando una propiedad P que caracteriza a los elementos del conjunto.

Extensión. Enumerando todos los elementos del conjunto.


Ejemplos:

1.


2.



Inclusión de Conjuntos, Subconjuntos.

Diremos que un conjunto A esta incluido o que esun subconjunto de otros conjuntos si y sólo si todo elemento de A es también un elemento de B, es decir:


Ejemplos:

1.


2.

3.

Propiedades.

1.
2. Si


Conjunto Vacío.

Es aquel que carece de elementos y lo denotaremos por Ø ó
Ejemplo


Observaciones:
1. El conjunto vacío es único.
2. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.Conjunto Potencia.

Dado un conjunto A existe un conjunto llamado conjunto potencia de A el cual se denota por P(A), es decir .

Observaciones:

1. Si A es conjunto finito de n elementos entonces P(A) tendrá elementos.
2. El número de elementos de un conjunto A se llamará cardinal de A y lo denotaremos por # A ó n(A).

Ejemplos:
1. Sea #
2. Sea #



ConjuntoUniversal.

Llamaremos conjunto universal a aquel conjunto que contiene a todos los conjuntos a los cuales estamos haciendo referencia y a este conjunto denotaremos por la letra .


Conjunto Disjunto.

Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en comunes, es decir, si su intersección es vacía y anotaremos por .

Complemento de un Conjunto.

El complemento de unconjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir, la diferencia del conjunto universal y del A, y se denota por ó .


Diferencia de Conjuntos.

La diferencia entre el conjunto A y B corresponde a todos los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. La diferencia de conjuntos no es conmutativa y se denota por A – B.Diferencia Simétrica o Suma de Boole.

Llamaremos diferencia simétrica o suma de Boole de los conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B pero no están en la intersección de A y B, es decir .



Operaciones con Conjuntos.

Unión de Conjuntos
Intersección de Conjuntos
Diferencia de Conjuntos
Complemento de un Conjunto
Conjuntos VacíoComparación de Conjuntos (Igualdad)
(Subconjunto)
Potencia de un Conjunto

Ejemplos: Sean

1.
2.
3.
4.
5.


Propiedades.

1. Asociativa.



2. Conmutativa.



3. Distributiva.



4. Absorción.



5. Idempotencia.



6. Identidad.





7.







8. Involutiva.




9. Complementariedad.10. Ley de Morgan.





Ejemplos.

Utilizando el álgebra de conjuntos, pruebe:

a.
b.
c.
d.


Desarrollo.

a.






b.







Usando propiedades de conjunto, simplifique:
a.
b.
c.


Desarrollo.
a.






Ejercicios por Resolver.

01. Determine por extensión los siguientes conjuntos:
a) A = {x  IN / x es divisor de32}
b) B = {x  Z / x = 1/x}
c) C = {x  IR / - 3  x  18}

02. Determine por comprensión los siguientes conjuntos:
a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11,.....}
b) B = {3, 9, 27, 81,.....}
c) C =

03. Sean: U = {x  IN/ x  14} A = {x  U/ x = 2n; n  IN}
B = { x  U/ x = 2n + 3; n  IN} C = { x  U/ 8  x  12}
Determine por...