Logica

2 LÓGICA PROPOSICIONAL

En 1.2.4 se habló de la lógica como una parte de las matemáticas que se usa para razonar de manera
formal. Los sistemas lógicos se han presentado como herramientas que deberán llevar a cabo la
representación de afirmaciones y el razonar y deducir de manera simbólica.
La lógica proposicional es un primer tipo de sistema lógico, en el que se manejan afirmaciones con unaestructura de complejidad bastante simple. Por ser así de simple, en la lógica proposicional es fácil definir y
entender qué es ser verdad, cuándo una afirmación es cierta, cuándo vale en cualquier escenario, y muchos
otros conceptos interesantes. Es un primer peldaño de una escala de sistemas lógicos en la que los
peldaños más altos incluyen a los más bajos, ganando en expresividad perotambién en complejidad.

2.1

LÓGICA PROPOSICIONAL

En 1.2.4 se mencionó que una proposición es una frase declarativa y que, como tal, es una afirmación sobre
algo que puede o no ser verdad. No sobra decir que no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
Ejemplos de proposiciones:
• 1+1=2
• 1+6≤3
• Juan es médico.
• Juan es médico y Pedro es arquitecto.
Las dos primeras son frases quese pueden entender como afirmaciones sobre números enteros. La tercera
y la cuarta son afirmaciones sobre la profesión de unas personas. En todos los casos se puede decir si lo
que se afirma es cierto o no.
Hay una diferencia estructural entre la tercera y la cuarta frases. De hecho, la tercera es parte de la cuarta,
y esta última se puede ver como la afirmación de dos afirmaciones mássimples. En otras palabras, hay
proposiciones simples, que se van a considerar atómicas, sin estructura. Y proposiciones complejas,
compuestas de proposiciones más simples unidas por alguna especie de elemento gramatical.
Por otro lado, no toda frase en lenguaje natural tiene que ser falsa o verdadera. Por eso, no toda frase
puede ser una proposición. Ejemplos de frases que no son proposiciones:
•¿Qué hora es?
• x+1 = 3
• Conduzca con cuidado.
La primera y la tercera no son frases declarativas. La segunda sí declara algo, pero su valor de verdad no
se conoce mientras no se sepa el valor de x 1. O sea, no son proposiciones y, como frases, ninguna es
cierta o falsa.
En una proposición simple no se quieren ver partes que la compongan y es en este sentido que es atómica.
Si se entiendeque la frase "Juan es médico" es una proposición, una manera de representarla sería con
algún identificador, que no es otra cosa que una palabra de uno o más símbolos en algún alfabeto, como
podría ser Juan_es_medico. El identificador se está entendiendo como un elemento que denota la frase y,

1 En desarrollos posteriores (cuando se hable de lógica de predicados) esta afirmación se podrácalificar de falsa o verdadera. Por
ahora, no se quiere que esta sea una proposición.

MEL* Lógica proposicional

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en este sentido, también se podría usar una letra como p como identificador para cumplir la misma función
de denotar. Típicamente, se usan identificadores como p, q, r, etc., que también pueden considerarse como
nombres de variables que pueden asumir valores de verdad. Se hablade variables proposicionales o
sentenciales.
Ya se ha dicho que una proposición es cierta o falsa, pero no ambas cosas. El sistema lógico que se va a
usar para hablar de proposiciones debe tener, al menos, dos valores que se distingan para la verdad 2. De
hecho, se usan dos identificadores especiales, true y false, para representar lo que en la realidad es
siempre verdadero y siempre falso,respectivamente 3.
Para simplificar la notación, ocasionalmente se usan los símbolos 1 y 0, como taquigrafías de los
identificadores true y false cuando se deban usar esas constantes en las llamadas tablas de verdad (cf.
2.1.4). Debe tenerse cuidado en entender que éstos son solo símbolos y que, por ejemplo, no se quiere
operar aritméticamente los símbolos 1 y 0. En realidad, como en...