logica

GUÍA DE EJERCICIOS
ÁLGEBRA
Lógica y Métodos de Demostración

1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Si π ≤ 5 entonces 10 < 1.
b) 52 = 25 o 2 + 2 = 5.c) 1681 es primo y 7227 es múltiplo de 99.
d) Si los ángulos interiores de un triángulo suman 200◦ , entonces 1 + 1 = 3.
2. Demuestre las siguientes equivalencias de proposiciones :
a) p ⇒ (q ⇒ r) ≡(p ∧ q) ⇒ r
b) p ⇔ q ≡ ¬ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)]
3. Simplique las siguientes proposiciones :
a) p ⇒ [¬q ⇒ (p ∨ q)]
b) a ∨ [(b ⇒ ¬b) ∧ (a ⇒ ¬a)]
c) (¬q ⇔ r) ∨ ¬r
4. ¾Para qué valores de p y q esfalsa la proposición [(p ⇔ q) ∧ ¬q] ⇒ (p ∧ ¬q) ?
5. Determine el valor de verdad de p, q y r sabiendo que (p ∧ ¬q) ⇒ [r ∨ (p ⇔ q)] es falsa.

6. Se denen los conectivos

y

de la forma:
p q≡ (p ⇒ ¬q)
r s ≡ (¬r ∨ s)

Determine si la siguiente proposición es una tautología
[p ∧ ¬(¬p r)] ∨ [¬(¬p q) ∧ ¬(¬s p)]

7. Considerando el conjunto R de los números reales como universo, escribalas siguientes expresiones utilizando
conectivos y cuanticadores. Determine el valor de verdad de cada proposición.
a) Todo número multiplicado por cero es cero.
b) Hay un número que es mayor oigual que todos los demás.
c) Si un número es menor que 2, entonces es mayor que 1.
d) Hay un número tal que su cuadrado es igual a sí mismo.
e) No hay un número que sea positivo y negativo a la vez.8. Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (∃x ∈ A : 4x2 − 19x − 5 = 0) ∨ (∃x ∈ A : x2 = x).
b) (∀x ∈ A : 3x + 28 ≥ x2 ) ∧ (∃x ∈ A : 2x +10 = (x + 1)2 ).
9. Sean A = 1, 2, 3, 4

y B = 1, 2, 3 . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) ∃x ∈ A : ∀y ∈ B : x + 1 ≤ y
b) ∀x ∈ A : ∀y ∈ B : x2 + 1 > y + xy − 2c) ¬(∃y ∈ B : ∀x ∈ A : x + 1 > y)
10. Para las siguientes proposiciones, demuestre si son verdaderas o encuentre un contraejemplo si son falsas.
a) ∀x ∈ R : (x3 = 9x) ⇒ [(x = 0) ∨ (x = 3) ∨ (x =...