logica

Capítulo 1 Nociones de Lógica
La matemática exige, en cualquiera de sus ramas, un lenguaje claro y preciso; muchas de las di…cultades
que encuentra el estudiante se deben a su di…cultad de utilizar y relacionar símbolos.
Diremos que la lógica en general, y la lógica simbólica en particular, es el estudio sistemático del
proceso de razonamiento preciso.
No es, sin embargo, un sustituto de eserazonamiento; manipular símbolos, que es uno de los procedimientos de la lógica, no es la misma cosa que pensar. Los métodos de la lógica clari…can nuestro
pensamiento, nos guian en la corrección de nuestros procesos de razonamiento y nos ayudan a evitar
errores.
Una de las …nalidades de la lógica simbólica es la de reducir complicados procedimientos verbales a
simples dispositivos de letrasy símbolos. La lógica tiene aplicaciones prácticas en el diseño de equipos
informáticos, la especi…cación de sistemas, la programación computacional, los lenguajes de programación
y en otras áreas de ciencias de la computación.
Así como los números son los elementos básicos de la aritmética, las proposiciones simples son los
elementos de la lógica.
En efecto, en aritmética comenzamos a operarcon los números naturales f1, 2, 3, : : :g y construimos
sistemas más complejos como, por ejemplo, el de los números racionales.
Análogamente, en lógica comenzamos con las proposiciones simples y las usamos después para formar
proposiciones compuestas. En lógica aprenderemos reglas para manipular estas sentencias.

1.1

Consideremos las siguientes expresiones:

Proposiciones

1. ¿Quiénes?
2. ¡Abra la puerta!
3. Salta está al noroeste de la República Argentina.
4. 2 es un número negativo.
5. Juan tiene una moto.
Son cinco oraciones diferentes: una interrogativa, una imperativa y tres declarativas. De las dos
primeras no podemos decir si son verdaderas o falsas. En cambio, en las tres últimas, que son declarativas,
tiene sentido decir si son verdaderas o son falsas. Aéstas las llamamos proposiciones.
De…nición Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa.
En los ejemplos anteriores, las dos primeras oraciones no son proposiciones, ya que no tiene sentido
pensar que son verdaderas o falsas. No decimos que no tienen sentido, sino que lo que carece de sentido
es decir que alguna de ellas sea verdadera o falsa. En efecto,sería ininteligible si a la pregunta de “¿quién
es?”, alguien respondiera “es verdadero” o “es falso”.
Dada una proposición, cabe preguntarse entonces si esta es verdadera o es falsa. Identi…caremos con
las letras V y F a los posibles “valores de verdad” de una proposición. Si es verdadera, diremos que su
valor de verdad es V y si es falsa, diremos que su valor de verdad es F . Así, porejemplo, el valor de
verdad de 3 es V , de 4 es F y de 5 nos es desconocido, aunque, necesariamente, debe ser V o F .
1.1.1 Notación
Representaremos a las proposiciones mediante las letras minúsculas p, q, r, s, : : : Si p es una proposición,
su valor de verdad se denotará con À(p); si queremos expresar que p es verdadera, escribiremos À(p) = V y
si es falsa À(p) = F . A los informáticos, lesconvienen, muchas veces expresar con 1 al valor de verdad de
una proposición verdadera (À(p) = 1) y con 0 cuando el valor de verdad es falso (À(p) = 0): Trabajaremos,
indistintamente, con ambas notaciones.
Example 1 Sea la proposición p: “Salta es más antigua que Chaco”. Su valor de verdad es À(p) = V:

1.2

Operaciones con proposiciones

Así como en aritmética y en álgebra se estudianoperaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. De…niremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente:
dadas una o dos proposiciones simples, cuyos valores de verdad se conocen, trataremos de caracterizar
la proposición resultante a través de su valor de verdad. Para ello, se ha de tener en cuenta el “buen
sentido”.
Es decir, se puede operar con...