Los desafios de la ciencia para el siglo xxi

Guía Ejercicios 1: Números Reales
AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES
a, b, c  R
1. Axiomas de la adición

a  b  R (Cerradura)
a  b  b  a (Conmutativa)
A3  a  b   c  a   b  c (Asociativa)
A1
A2

A4

a  R, ! 0  / a  0  a (Neutro)

A5

a  R, ! a   R / a   a   0 (Inverso aditivo)

2. Axiomas de la multiplicación

a.b  R (Cerradura)
a.b  b.a(Conmutativa)
M3  a.b  .c  a.  b.c  (Asociativa)
M1
M2

M4

a  R, !1  R / a.1  a (Neutro)
1
1
  R / a.    1 (Inverso multiplicativo)
a
a

M5 a  R  0 , !

3.Axioma de distribución
D1

a  b  c   a.b  a.c

D2

 b  c  a  b.a  c.a

4. Axiomas de igualdad
I1
I2

Dicotomía a  b  a  b
Reflexividad a  a

I3

Simetría

a  b b a
I4 Transitividad a  b  b  c  a  c
a b ac bc
I6 Unicidad o consistencia de la multiplicación a  b  a.c  b.c
I5

Unicidad o consistencia de la Adición

5. Axiomas del orden

a ba  ba  b
O2 Transitividad a  b  b  c  a  c
O1

Tricotomía

O3

Monotonía
a) a  b  a  c  b  c
b) a  b  c  0  a.c  b.c
c) a  b  c  0  a.c  b.c

O4

R  R



a) a  R  b  R   a  b   R   a.b   R
b)

a  0 / a  R   a   R 

c) 0  R



Guía Ejercicios 1: Números Reales
DEMOSTRACIONES DE TEOREMAS
Teorema

1.

Elelemento neutro aditivo es único.

 e  R / a  e  a ,

Demostración: según A4 !

aditivo e  R , luego probar

e  e

1) a  e  a
2) Si a  e  e  e  e
3) a  e  a
4) a  e e  e  e
5) e  e  e  e
5)

(A4): neutro aditivo
(A4)
(A4): neutro aditivo supuesto
(A4)
(A2): conmutativa

e  e

Teorema

2, 4 y 5

2.

El inverso aditivo es único.Demostración: Suponer que b y b’
probaremos entonces que b=b’
1) b  b  0
(A4)
2)

suponer que existe otro neutro

 b   a  b 

  b  a   b
4)  0  b
5)  b  b
3)

son los...