Los números racionales

NÚMEROS RACIONALES.

Para poder adentrarnos en el tema de los Números Racionales, es necesario, y quizás lo más fundamental, saber que significa Números Racionales. El conjunto Q de los números racionales está formado por todos los números * , en los cuales el numerador a es un numero entero y el denominador b es un numero distinto de cero.

Q = ø / a, b " Z " b " o ø

Q' = Q- " ø 0 ø " Q+Si amplificamos una fracción sucesivamente por los Números Naturales obtenemos un conjunto de términos equivalentes llamado Clases de Equivalentes, cada una de estas clases se llama Numero Radical.

Clasificación de los Números Racionales

Dentro del conjunto de los Números Racionales podemos encontrarnos con:

!Números Racionales Positivos: son aquellos que están representados porfracciones positivas. El conjunto de numero racionales positivos se designa con Q+

+a a Q+ - a b a Q+

+b b - b b

!Números Racionales Negativos: son aquellos que están representados por fracciones negativas. El conjunto de números racionales negativos se designa con Q-

- a a Q- - a b a Q-

b b - b b

* El racional 0 está formado por todas las fracciones que tienen el numerador 0ø 0 , 0 ø

•2

* En el conjunto de los números racionales siempre podemos intercalar otro racional, esto se llama Densidad en Q. Para intercalar racionales usamos un método practico:

1.- se ordenan de mayor a mayor.

2.- se suman los numeradores y denominadores entre sí.

La fracción obtenida está entre las fracciones dadas, el proceso puede continuar infinitamente. Entre dos númerosracionales podemos intercalar un numero infinito de racionales, entonces se puede decir que el conjunto Q es un conjunto denso.

Entre 1 a " 1 a
•4

1 a < 1 a
5 4

1 + 1

5 + 4

Operaciones con Números Racionales

! Adición de Números Racionales: para sumar racionales de igual denominador se conserva el denominador común y se suman los numeradores.

Ejemplo:

3 1 4 a
8 88

" a , c " Q , d " 0 a c a + c

a d d d d d

Para sumar racionales de distinto denominador, se calcula el Mínimo Común Múltiplo entre los denominadores y se amplifica cada fracción para obtener otra equivalente y con denominador igual al Mínimo Común Múltiplo encontrado. Luego se calcula la suma de las fracciones con denominador común.

" a , c " Q b " 0 , d " 0

b d

a c MCM(b,d) = bd ad cd ad + cd

b d bd bd bd

% Propiedades de la Adición de Números Racionales

-Clausura: la adición es una ley de composición interna en Q pues al sumar dos racionales, la suma siempre es un numero racional.

" a " c " Q b " d " 0 a c " Q

b d b d

Ejemplo : 3 " -2 " Q , 3 -2 9 - 8 1 " Q

4 3 4 3 12 12

-Asociatividad: si para sumar números racionales se agrupan usandoparéntesis, sin cambiar el orden, la suma no se altera.

" a , c " e " Q b , d " f " 0

b d f

a c e = a c e q
b d f b d f

-Elemento neutro: para los números racionales, el elemento neutro de la adición es el cero. Si usamos cero a cualquier racional, la suma será igual al racional considerado.

" a " Q , "! 0 " Q a + 0 0 + a . a .

b b b b

-Elemento inverso aditivo: todonumero racional , distinto de cero tiene un inverso aditivo - , tal que sumados dan el elemento neutro cero.

" a " Q , a " 0 "! - a a - a -a a 0
b b b b b b b

-Conmutatividad: si para sumar dos racionales, cambiamos el orden de los sumados, la suma no se altera.

" a " c " Q b , d " 0

b d

a c a c q
b d b d

!Numero Mixto: se llama numero mixto a la suma de un numero entero yun racional. En el numero mixto esta sobreentendido el signo de la suma, razón por la cual se prescinde de él. Ejemplo:

3 es un numero mixto que indica 3 +

Si se desea expresar el numero mixto como racional, bastara con efectuar la suma indicada. Y si un numero racional (con numerador mayor que el denominador) se quiere expresar como numero mixto, bastara con dividir el numerador por el...