Los numeros naturales y enteros

LOS NUMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.



 CONCEPTO
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendodel autor, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero: N={1,2,3,4,...}

Definición con el cero: N={0,1,2,3,4,...}


 Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, esosí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:
1.-El 1 es un número natural.
2.-Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3.-El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4.-Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5.- Si el 1 pertenece a un conjunto de números A,y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

 Representación
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor amayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

 Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales de lectura simbólica de agrupación oconstrucción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raíces u origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con un determinado conjunto numérico.

Los conjuntos numéricos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichos conjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estardentro o fuera de ellos. Si el resultado de la operación siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para dicha operación (cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces no, se dice que el espacio es abierto para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o de clausura).De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma (operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta deconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada, constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), ladivisión cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doble naturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación cuyo resultado es potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos "perfectos"), radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamenteperfectos) y la logaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raíces de un objeto potencialmente perfecto, o de posibles propiedades dimensionales de los objetos geométricos).

Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras, deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. A partir de esta concepción...