Lógica y conjuntos

UNIDAD DE LÓGICA
Lógica
1.1. Introducción
Si examinamos nuestros procesos intuitivos de razonamiento, nos daremos
cuenta que existen una importante clase de juicios que juegan un papel fundamental en
nuestro pensamiento matemático. La Lógica es un lenguaje que nos permite entender el
razonamiento matemático y está compuesta por aquellos juicios que llamaremos
proposiciones.
Comenzaremospor suponer la existencia de una serie de oraciones que
llamaremos proposiciones básicas. Supondremos la existencia de cinco operaciones para
construir nuevas oraciones, las cuales llamaremos proposiciones compuestas.

Las

proposiciones las denotaremos por las letras p, q, r, etc.
El uso de la lógica nos permitirá comprobar la veracidad o falsedad de un
enunciado o proposición, siendo estacaracterística denominada valor de verdad.
Una proposición puede ser simple o compuesta. Llamaremos proposición simple a
toda proposición que no se puede descomponer en dos proposiciones y llamaremos
proposición compuesta a aquella formada por dos o más proposiciones simples utilizando
conectivos lógicos.
Los conectivos lógicos son símbolos que se utilizan para escribir proposicionescompuestas.
1.2. Lógica Proposicional
Lógica es el estudio del razonamiento. Mediante su uso podemos determinar cómo
un hecho puede resultar otro. Existen dos tipos importantes de razonamiento

que el

hombre encuentra consistentemente útiles: el razonamiento inductivo y el razonamiento
deductivo.

Razonamiento inductivo:
Es el medio por el cual una persona, en base de sus experienciasespecíficas,
decide aceptar como válido un principio general.
Es decir, se parte de casos particulares para obtener una conclusión general.
Por ejemplo.

52
53
54
55

=
=
=
=

25
125
625
3125

Se observa que las potencias enteras y positivas de
5, mayores o iguales a 2, siempre acaban en 25.
Luego, podemos afirmar que 5n = …25 n>1

Razonamiento deductivo:
Es el medio según elcual esa persona utiliza el principio general aceptado
previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habrá de determinar
el curso de su acción.
Es decir, se parte de una conclusión general para verificar una premisa particular,
por ejemplo:
“Todo número natural que acaba en cifra par, al ser dividido entre 2, no deja
residuo”
Para

Ν = 1234123412
34 1234

40 cifras

La última cifra de N es par.

∴ N divido entre Z no deja residuo
La lógica matemática se divide en: lógica proposicional y lógica funcional.

1.2.1. Lógica proposicional
Estudia las proposiciones y las relaciona entre ellas.
Una proposición es una frase, juicio, expresión de la cual tenga sentido
inequívoco, es decir, si es verdadera o falsa, pero no ambas. Talproposición o
proposiciones se llaman enunciados.
Ejemplos:
a) La mañana del 6 de Enero del 2003, el cielo estaba nublado en Buenos Aires.
b) 7 es factor de 21.
c) Este yeso está hecho de un material x, en donde x pertenece al conjunto de
todas las sustancias químicas.
d) 3x + 7 = 5x - 3

(el conjunto validez no está dado, por tanto no es una

proposición lógica).

15
= 3 para x ∈ Ν , (elconjunto validez no está dado, por tanto no es una
x−2

e)

proposición lógica).

Observaciones:
En la lógica proposicional interesa el significado de una proposición y la forma en
que se presenta, ya que el uso del lenguaje se puede encontrar de distintas maneras.
Así:
Carlos trabaja en la farmacia
En la farmacia trabaja Carlos
Ejemplo:
Luis le ganó a José
José perdió con Luis
Sonacciones diferentes, sin embargo tienen el mismo significado. Las oraciones
corresponden a la misma proposición.

Nuestra lógica proposicional será bivalente, es decir, los símbolos p, q, r, s, que
representan proposiciones pueden tomar 2 valores: Verdadero (V) o Falso (F), a los
cuales llamaremos "valores de verdad".
Verdadero y Falso son conceptos primitivos, es decir, que los aceptaremos...