Métodos de Integración Numérica

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´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5

5.5

Integraci´n num´rica
o
e

M´todos de Newton-Cˆtes
e
o
De cara a calcular la integral definida:
∫

b

f (x) dx
a

se llaman M´todos de Newton-Cˆtes a los que se basan en integrar, en lugar de la funci´n
e
o
o
dada f (x), un polinomio de interpolaci´n que aproxime a f (x) en [a, b]. Se trata por
o
tanto de toda unafamilia general de m´todos, seg´n el polinomio de interpolaci´n que se
e
u
o
considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos para interpolar, etc.). Para
el caso de las interpolaciones lineal y cuadr´tica, estos m´todos se denominan M´todo
a
e
e
de los Trapecios y M´todo de Simpson, respectivamente.
e

M´todo de los trapecios
e
Como se ha comentado, el M´todo de los trapecioses un M´todo de Newton-Cˆtes
e
e
o
basado en la interpolaci´n lineal.
o
La idea esencial por tanto, de cara a integrar f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta
(b, f (b)), es aproximar f (x) por su polinomio de interpolaci´n lineal en [a, b] (ver figura).
o
f (x) ≈ P1 (x) =
y as´
ı:

∫
I=

b

x−b
x−a
f (a) +
f (b) ,
a−b
b−a
∫

f (x) dx ≃

a

b

P1 (x) dx =
a

f x∀x ∈ [a, b]

b−a
(f (a) + f (b))
2

P1 x

x
a

b

x
a

b

En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el ´rea del trapecio
a
que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos:
(a, f (a)) y (b, f (b)).

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´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5

Si recordamos la expresi´n del error de la interpolaci´nlineal, suponiendo que f (x)
o
o
es continua y derivable dos veces en el intervalo [a, b]:
f (x) = P1 (x) + ε(x)
ε(x) =

f ′′ (ξ)
(x − a)(x − b),
2

a≤ξ≤b

Tendremos entonces que:
∫

b

I=

f (x)dx =
a

b−a
(f (a) + f (b)) + E
2

donde el error de la integraci´n num´rica E ser´, obviamente:
o
e
a
∫ b
∫ b
f ′′ (ξ)
E=
ε(x)dx =
(x − a)(x − b) dx
2
a
a
Integrando enesta ultima expresi´n y denominando h = b − a se concluye f´cilmente
´
o
a
en que:
h3
h3
E = − f ′′ (ξ) ⇒ |E| ≤
M2
12
12
siendo M2 el valor m´ximo que alcance la derivada segunda de la funci´n en el intervalo
a
o
dado [a, b].

M´todo de los Trapecios compuesto
e
Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el M´todo de los Trapecios Simple
e
suele ser muyimpreciso. Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en
otros m´s peque˜os y aplicar en cada uno de ellos el M´todo simple.
a
n
e
De esta manera, el M´todo de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en
e
tomar una partici´n P = {x0 , x1 , . . . , xn } de [a, b], (x0 = a, xn = b), equiespaciada, es
o
decir: xi+1 − xi = h, ∀i = 1, . . . , n. Tendremos as´ que:
ı
h=b−a
n

Teniendo en cuenta las propiedades b´sicas de la integral definida:
a
∫ b
∫ x1
∫ x2
∫ xn
f (x) dx =
f (x)dx +
f (x)dx + . . . +
f (x)dx
a

x0

x1

xn−1

y aplicando a cada integral el M´todo simple:
e
∫ b
h
h
h
f (x) dx ≈ (f (x0 ) + f (x1 )) + (f (x1 ) + f (x2 )) + . . . + (f (xn−1 ) + f (xn )) =
2
2
2
a
=

h
(f (x0 ) + 2 (f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f(xn−1 )) + f (xn ))
2

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´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5

Tenemos por tanto la expresi´n final para el M´todo de los Trapecios Generalizado:
o
e
(
)
∫ b
n−1
∑
h
f (a) + 2
f (xi ) + f (b)
f (x) dx ≈
2
a
i=1

En lo que respecta al error de integraci´n, ser´ evidentemente igual a la suma de los
o
a
errores de cada una de las aplicaciones del m´todo simple:
e
E =E1 + E2 + . . . + En = −

h3 ′′
h3
h2
f (ξ1 ) − f ′′ (ξ2 ) − . . . − f ′′ (ξn )
12
12
12

si denominamos M2 al m´ximo de la funci´n f ′′ (x) en [a, b] tendremos finalmente:
a
o
|E| ≤

h3
(b − a) 2
nM2 =
h M2
12
12

Tomaremos habitualmente E definido no negativo, por lo que es frecuente escribir
directamente:
h3
(b − a) 2
E≤
nM2 =
h M2
12
12
obviando el valor...