Métodos Numéricos- Raices

TEMA 3 - Raíces de ecuaciones

Bibliografía: Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE -1997. Análisis Numérico – Burden and Faires- Editorial Sudamericana – 1996. Métodos Numericos para Ingenieros.-Chapra y Canale.-2007.

INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas que con frecuencia se presenta, consiste en tener la necesidad de determinar las raíces de una ecuación de la forma:

f(x) = 0(4.1)

Donde f(x) es una función de la variable real x con coeficientes reales. Resolver la ecuación consiste en hallar valores numéricos de la variable independiente x, llamados RAÍCES de la ecuación, tal que reemplazados en el primer miembro la anulan.

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INTRODUCCIÓN
Desde hace años que se aprendió a usar la fórmula cuadrática:

− b ± b 2 − 4ac x1 y x 2 = 2a

Para resolver f(x) =ax2 + bx + c
A los valores calculados con dicha ecuación se les llama “raíces” de la ec. que representan los valores de x que hace que f(x) = 0. Se conocen también como ceros de la ecuación.

INTRODUCCIÓN
El álgebra provee fórmulas de resolución para ecuaciones cuyos primeros miembros son polinomios, hasta el cuarto grado inclusive.

Para ecuaciones de grado mayor no existen métodos exactosque las resuelvan. Una ecuación tan simple como f(x) = e–x – x no se puede resolver en forma analítica. Un método para obtener una solución aproximada consiste en graficar la función y determinar dónde cruza el eje de las x. Así se encuentra el valor de x para el cual f(x)=0, es raíz. Estos métodos son útiles pero poco precisos. Se recurre entonces a métodos o técnicas que aproximan y empleanestrategias sistemáticas para dirigirse a la raíz verdadera. Objetivo: Estudiar varios procedimientos que permiten calcular valores APROXIMADOS de las raíces.

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Antecedentes matemáticos (i)
Por definición una función dada por y=f(x) es algebraica si se expresa de la forma:
f n y n + f n −1 y n −1 + .......... . + f1 y + y0 = 0

Donde fi es un polinomio de orden i-ésimo en x. Los polinomiosson un tipo de funciones algebraicas que generalmente se representan como:
f n ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ...... + an x n

Donde n es el orden del polinomio y las a son constantes. Ejemplos:
f 2 ( x ) = 1 − 2,37 x + 7,5 x 2
f 6 ( x) = 5 x 2 − x 2 − x 3 + 7 x 6

Las funciones trascendentes son funciones que no son algebraicas. Comprenden las funciones trigonométricas, las funcionesexponenciales, las funciones logarítmicas y otras menos familiares. Algunos ejemplos son:

Antecedentes matemáticos (ii)

f ( x) = ln x 2 − 1

f ( x ) = e −0, 2 x sen(3 x − 0,5)

trascendentes:

Las raíces pueden ser reales o complejas. Los métodos numéricos estándares para hallar raíces se hallan en dos áreas de problemas relacionados, pero fundamentalmente distintos: 1.- Determinación deraíces reales de ecuaciones algebraicas y Estas técnicas permiten determinar el valor de una sola raíz real basándose en un conocimiento previo de su posición aproximada. 2.- Determinación de raíces reales y complejas de polinomios. Estos métodos están diseñados especialmente para polinomios; determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de sólo una raíz real dada una posiciónaproximada.

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INTRODUCCIÓN
Definición de algunos términos y estudiar el comportamiento general de las ecuaciones. Las distintas etapas que, inevitablemente, deben seguirse para resolver una ecuación, son:

ACOTACIÓN de las raíces, SEPARACIÓN de las raíces, y APROXIMACIÓN de las raíces.

ACOTACIÓN DE LAS RAÍCES
Consiste en determinar un intervalo abierto, denominado INTERVALO DEACOTACIÓN, que contenga a todas las raíces que pudieran interesar.

Existen maneras precisas de operar cuando las ecuaciones son algebraicas. Cuando se trata de ecuaciones trascendentes, el estudio debe realizarse para cada caso en particular.

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ACOTACIÓN DE LAS RAÍCES

Se dice que L es la cota superior de las raíces positivas de p(x)= 0, si L es un número superior al valor de la mayor raíz...