Métodos numéricos

Universidad de Magallanes
Facultad de Ingeniería
Isabel Aguila Müller
Ingeniería Civil Química
Agosto 2010
Depto. de Química

INTRODUCCIÓN

* En este informe veremos el desarrollo de diferentes métodos numéricos para encontrar la raíz y la integral de ecuaciones dadas.
* Los métodos que serán utilizados serán:

Para encontrar la raíz
* Método de Bisección
* Método deRegula Falsi
* Método de Newton Raphson

Para encontrar la integral:
* Método del Trapecio de Aplicación Múltiple
* Método Simpson de Aplicación Múltiple

OBJETIVOS

* Encontrar la raíz de la ecuación :
f(cf)=-0,4+1,74lnRe*cf-1cf
* Calcular la integral de la ecuación:
M=t1t2Qt*ctdt
Qt=9+4cos20,4t ct=5e-0,5t+2e0,15t
Ambos objetivos través de los métodos yamencionados

MARCO TEORICO

* Método de Bisección

El método de la bisección, es un método de búsqueda que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorarla aproximación.
Elegir los valores iniciales a y b, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:
c=a+b2
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a. Si f(a)f(c) < 0, entonces la solución o raíz está entre a y c, y b toma el valor de c.b. Si f(c)f(b) < 0, entonces la solución o raíz está entre c y b, y a toma el valor de c.
Esto se repite hasta una cierta tolerancia la cual nos dice cuando debemos detenernos en las iteraciones

ε=Ck+1-CkCk+1≤tolerancia dada

Al cumplirse la tolerancia la raíz o solución de nuestra ecuación es el último punto medio que se obtuvo.

* Método Regula Falsi

El método de RegulaFalsi aprovecha esta característica para proveer un algoritmo, en general, más rápido que el método anterior.
El método comienza, como bisección, con un intervalo [a,b] en el que la función f (x) cambia de signo.
f(a)f(b) < 0

A continuación se define el punto c donde la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y
(b, f (b)) corta al eje x. El nuevo intervalo será [a,c] o [c,b];donde seproduzca el cambio de signo, para garantizar que la raíz queda encerrada en el nuevo intervalo. Este procedimiento se realiza hasta conseguir la precisión deseada.

La recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) está definida por:

y=fb-f(a)(b-a)*x-a+f(a)

y la intersección con el eje x es:
x=a-fa*b-afb-fa
Esto se repite hasta una cierta tolerancia la cual nos dice cuando debemos detenernosen las iteraciones
ε=Ck+1-CkCk+1≤tolerancia dada
Al cumplirse la tolerancia la raíz o solución de nuestra ecuación es el último punto medio que se obtuvo.

* Método de Newton Raphson

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmulaen un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación   “xi” a la raíz  “xr”  de  f(x)

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi,f(xi)); ésta cruza al eje  x  en un punto  xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz  xr.
Para calcular el punto  xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente.
m=f'(xi)
Y por lo tantola ecuación de la recta tangente es:

y-fxi=f'xi*(x-xi)
Hacemos  y=0:
-fxi=f'xi*(x-xi) |
Y despejamos  x:
x=xi-f(xi)f'(xi)
Xi+1= Xn-f(a)f'(a) |
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson  para calcular la siguiente aproximación:

Esto se repite hasta una cierta tolerancia la cual nos dice cuando debemos detenernos en las iteraciones
ε=Ck+1-CkCk+1≤tolerancia dada
Al cumplirse la...