Mapas

INTEGRALES TRIPLES.

1

x 0 0

y

46. Dada la integral
0

f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´n de integraci´n y escribir o o

la integral de todas las formas posibles.

Soluci´n o
z

y

x

Teniendo en cuenta la gr´fica adjunta, si D1 , D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres a planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:

y

1x

y

1

1

y

dxdy
D1 0 x

f dz f dy
z 1

=
0 1

dx
0 1

dy
0 x

f dz =
0 1

dy
y x

dx
0 x

f dz, f dy,
z 1

dxdz
D2

=
0 1

dz
z y

dx
z 1

f dy =
0 1

dx
0 1

dz dy
z y

dydz
D3 y

f dx =
0

dy
0

dz
y

f dx =
0

dz

f dx.

47. Calcular las siguientes integrales triples: i)
V

(x2 + y 2 ) dxdydz, donde V est´limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z, a z = 2.

ii)
W

(1+z 2 ) dxdydz, siendo W la regi´n limitada por 2az = x2 +y 2 , x2 +y 2 −z 2 = o a2 , z = 0.

Soluci´n o 1

i) La regi´n de integraci´n es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2. o o
z

y x

Como la proyecci´n de dicha regi´n sobre el plano z = 0 es el c´ o o ırculo C : x2 + y 2 ≤ 4, la integral triple sepuede descomponer entonces como
2

I=
C

dxdy
(x2 +y 2 )/2

(x2 + y 2 ) dz.

Al escribir la integral en coordenadas cil´ ındricas, se obtiene:
2π 2 2 2

I=
0

dv
0

u du
u2 /2

u2 dz = 2π
0

u3 · (2 − u2 /2) du =

16π . 3

ii) La intersecci´n del paraboloide 2az = x2 + y 2 con el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2 o da la circunferencia x2 + y 2 = 2a2 situada en el planoz = a. Esto indica que ambas superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´n o de integraci´n est´ limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano o a z = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi´n o de integraci´n). o

z

z

x

y

x

y

Debemos descomponer la integral endos sumandos pues, si (x, y) est´ en el c´ a ırculo de centro el origen y radio a, entonces z est´ comprendido entre el plano z = 0 y √ paraboloide a el 2az = x2 + y 2 y, si (x, y) est´ entre el c´ a ırculo anterior y el c´ ırculo de radio a 2, entonces z est´ comprendido entre el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2 y el paraboloide anterior. a La f´rmula que se obtiene es pues o
x2 +y 2 2a

I

=x2 +y 2 ≤a2

dxdy
0

(1 + z 2 ) dz
x2 +y 2 2a

+
a2 ≤x2 +y 2 ≤2a2

dxdy √

(1 + z 2 ) dz.

x2 +y 2 −a2

2

Para resolver las integrales, las escribimos en coordenadas cil´ ındricas. As´ ı,
2π a u2 /2a 2π √ a 2 u2 /2a

I

=
0

dv
0

u du
0 3

(1 + z ) dz +
0

2

dv
a

u du

√

(1 + z 2 ) dz
u2 −a2

= · · · = (10 + a2 )πa /30. [Todas las integralesa resolver son casi inmediatas.]

48. Calcular
S

(1 + x + y + z)−3 dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres

planos coordenados y el plano de ecuaci´n x + y + z = 1. o

Soluci´n o Si llamamos D a la proyecci´n de la regi´n de integraci´n sobre el plano XY , podemos o o o escribir la integral como
1−x−y

I=
D 0

(1 + x + y + z)−3 dz dxdy.

Como, a su vez, D es eltri´ngulo de v´rtices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), la integral se descompone a e en las siguientes integrales iteradas:
1 1−x 1−x−y

I

=
0 1

dx
0 1−x

dy
0

(1 + x + y + z)−3 dz

=
0 1

dx
0

y (1 + x + y)−2 dy − + 8 2

=
0

x−1 1 1 1 5 − + dx = ln 2 − . 8 4 2(1 + x) 2 16

49. Calcular los vol´menes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies: u i) a2 = x2 + z 2 ,x + y = ±a, x − y = ±a. ii) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0. iii) iv) x + a y + b z = 1, x, y, z ≥ 0. c

x2 y2 z2 x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1, 2 + 2 = 2 , (z > 0). 2 a b c a b c

Soluci´n o i) La regi´n a considerar es el interior del cilindro a2 = x2 +z 2 cortado por los cuatro planos o x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a. 3

z

y x

Como la proyecci´n...