Matemáticas de los intervalos musicales

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Definici´n Matem´tica de Intervalos Musicales o a
Jos´ Antonio Montero Aguilar e 2009-01-03

Resumen En el presente art´ ıculo se pretende referir a los intervalos musicales vistos desde un punto f´ ısico y matem´tico. Se comienza haciendo referencia a la a definici´n tradicional de intervalo musical, y explicando algunas formas de o referirse a ´stos, posteriormente se presenta con la partenum´rica de los e e intervalos y como se obtienen algunos n´meros interesantes a partir de ellos. u

1.
1.1.

Teor´ Tradicional de Intervalos Musiales ıa
Definici´n de intervalos musicales o

Un intervalo musical se puede definir cualitativamente como la diferencia de “altura” o “afinaci´n” entre dos notas, cuantitativamente se puede ver de o varias formas: Cantidad de Semitonos entre dosnotas: Basandose en la escala crom´tica a contando las notas entre las dos que definen el intervalo. Cantidad de Notas: Basado en la escala natural, tomandose como primera 1 la nota m´s grave del intervalo y a partir de ahi asignandole cierto grado a a la nota aguda. Relaci´n Entre sus Frecuencias: Si se define una nota como una cantio dad de vibraciones por segundo, podemos definir un intervalo como elcociente entre la frecuencia de la nota aguda y la frecuencia de la nota grave2 . As´, Do y Fa forman un intervalo de grado 4, al ser de 5 semitonos ı es una cuarta justa cuyo cociente es de 4 3

1.2.

Clasificaci´n de los Intervalos o

Para clasificar a los intervalos se puede partir de varias formas. En ls cursos cl´sicos de teor´ musical se inicia con la claseficiaci´n arm´nica, pero a ıa oo en ´ste caso, al ser ´sta la m´s compleja se quedar´ para el final. e e a a Se dice que un intervalo es simple si comprende menos de una octava y complejo si exede la misma. Los intervalos complejos son analogos a los simples, as´ pues, una novena es una segunda de la octava, y adquiere todos ı los atributos de un intervalo de segunda (los cuales veremos posteriormente), la treceava es an´loga ala sexta y la quinceava es an´loga tanto a la octava a a como a la t´nica. o Por comodidad, de ahora en adelante nos referiremos unicamente a los intervalos simples, ya que como ya se dijo, los compuestos son an´logos. a
Se puede tomar la nota aguda, pero en ´ste caso el intervalo se llamar´ invertido y se e a contar´ hacia atr´s. a a 2 El inverso del cociente ser´ en este caso el intervaloinvertido a
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1

Un intervalo es armonico si las notas que lo componen suenan simultaneamente y mel´dico si suenan una despu´s de la otra. o e Se llaman intervalos complementarios aquellos que sumados forman una octava. Una quinta y una cuarta son complementarios N´tese que los o cinco grados de la quinta y los cuatro de la cuarta se resuelven en 8 grados y no en 9, ya que el quinto grado de laquinta es a la vez el primero de la cuarta. En lo que respecta a la clasificaci´n arm´nica, los intervalos se pueden o o clasificar en dos grupos: los tonales, los cuales son la primera, la cuarta, la quinta, y la octava; y modales los cuales comprenden a la segunda, la tercera la sexta y la s´ptima. e Los tonales tiene un unico valor justo, los modales por su parte pueden ´ ser mayores o menores,ambos grupos pueden ser aumentados o disminu´ ıdos3 . Para determinar el tipo de intervalo se puede partir de la escala mayor, la cual est´ formada por puros intervalos mayores y justos con respecto a la a t´nica, y posteriormente seguir la siguientes reglas: o El menor es un semitono m´s peque˜o que el mayor. a n El aumentado es un semitono m´s grande que el mayor o el justo, seg´n a u sea elcaso, y un tono m´s grande que el menor. a El disminu´ es un semitono m´s peque˜o que el menor o el justo, ıdo a n seg´n el caso, y un tono m´s peque˜o que el mayor. u a n
Algunos cursos antiguos consideran el sobreaumentado y el subdisminuido pero actualmente no se utilizan
3

2

1.3.

Tabla de Intervalos
Grado Semitonos 1 0 1 1 2 0 2 1 2 3 2 4 3 2 3 3 3 4 3 5 4 4 4 5 4 6 5 6 5 7 5 8 6 7...
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