matemáticas

Pruebas de Acceso a Ense˜ anzas Universitarias Oficiales de Grado (2013)
n
Materia:
´
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
El alumno deber´ contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
a
Se podr´ utilizar cualquier tipo de calculadora.
a

Propuesta A
1. Considera el siguiente problema de programaci´n lineal:
o
Maximiza la funci´n z = 2x + y sujeta a las siguientesrestricciones:
o
x−y
x+y
x≥0
y≥0

≤
≤

1
2

a) Dibuja la regi´n factible. (1 punto)
o
b) Determina los v´rtices de la regi´n factible. (0.25 puntos)
e
o
c) Indica la soluci´n ´ptima del problema dado y su valor. (0.25 puntos)
o o
Soluci´n:
o

a)1 punto.
b) V´rtices (0,0),(0,2)(1.5,0.5)(1,0). 0.25 puntos
e
c) Soluci´n ´ptima (1.5,0.5) Valor 3.5. 0.25 puntos
o o
2. Pararecaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras
a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2980 euros. El n´mero total de prendas vendidas ha
u
sido 380. El n´mero de camisetas vendidas fue el doble del n´mero de gorras vendidas.
u
u
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el n´mero de camisetas, bufandasy gorras que se
u
vendieron. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Soluci´n:
o
x= nº de camisetas vendidas
y= nº de bufandas vendidas
z= nº de gorras vendidas

 10x + 5y + 7z = 2980
x + y + z = 380

x = 2z


 10x + 5y + 7z = 2980
x + y + z = 380

x
− 2z = 0

a) Por cada ecuaci´n bien planteada .0.5 puntos
o
b) Tener bienresuelto el sistema 0.5 puntos
Soluci´n: x=180 camisetas, y= 110 bufandas, z=90 gorras
o

3. Se considera la funci´n f (x) =
o

| − x − 1| − t si x ≤ 2
x−5
si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos)
b) Para t = 2, representa gr´ficamente la funci´n f. (1 pto)
a
o
Soluci´n:
o
a) Para que sea continua, debe coincidir el valor de la funci´n en esepunto con sus l´
o
ımites laterales.
Saber condiciones (0.25 puntos)
C´lculo correcto del valor, t=6 (0.25 puntos)
a
b)

0.5 ptos por cada trozo bien dibujado
4. Calcula los valores de los par´metros a y b para que la funci´n f (x) = x2 + ax + b tenga un m´
a
o
ınimo en el
punto (2, 1). (1.5 puntos)
Soluci´n:
o
f (x = 2) = 1 ⇒ 4 + 2a + b = 1 ⇒ 2a + b = −3 (0.5 puntos)
f (x) = 2x + a(0.25 puntos)
f (x = 2) = 0 por tener f un m´
ınimo en el punto de abscisa x = 2 (0.25 puntos)
⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = −4 (0.25 puntos)
2a + b = −3 ⇒ b = −3 − 2a = −3 + 8 = 5 (0.25 puntos)
5. En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20 % son piezas del tipo A y el 80 % piezas del
tipo B. La probabilidad de que una pieza de tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una pieza de tipoB sea
defectuosa es 0.1.
a) Elegida una pieza al azar, ¿cu´l es la probabilidad de que sea defectuosa? (0.75 puntos)
a
b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cu´l es la probabilidad de que sea del tipo A? (0.75
a
puntos)
Soluci´n:
o
a) A= Tipo A; B=Tipo B; D=defecto;ND= No defecto P(A)=1/5; P(B)=4/5
P(D/A)=0.02; P(D/B)=0.1
Plantear probabilidades (0.25 ptos)
P(D)=P(D∩ A)+ P(D ∩ B)=P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)=0.084. (0.5 puntos)
b) P(A/ND)=P(A ∩ ND)/P(ND)=(P(ND/A)*P(A))/(1-P(D))=(0.98*0.2)/(1-0.084)=0.2139738. (0.75 puntos)

6. Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno
gastaron: 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.
a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas deinvierno, sigue una distribuci´n normal de media
o
desconocida y desviaci´n t´
o ıpica σ = 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio poblacional
con un nivel de confianza del 95 %. (1.25 puntos)
b) Explica razonadamente c´mo podr´
o
ıamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)

Soluci´n:
o
a) La media muestral es:
x=
¯...