matemáticas

–8

–4

4

8

4

8

–10

Asíntota oblicua: y = x + 2

–20

b) f ' (x) =

(2x + 3) (x + 1) – (x 2 + 3x)
=
(x + 1)2

=

2x 2 + 2x + 3x + 3 – x 2 – 3x
=
(x + 1)2

=

x 2 + 2x + 3
≠0
(x + 1)2

20
10

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0)

–8

–4

Asíntota vertical: x = –1
Asíntota oblicua: y = x + 2

10

–10
–20

Unidad 7. Iniciación alcálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD

c) f ' (x) =
=

2x (x 2 + 1) – x 2 · 2x
2x 3 + 2x – 2x 3
=
=
(x 2 + 1)2
(x 2 + 1)2
2x
8 x=0
+ 1)2

(x 2

7

2
1
–4

–2

2

4

–1

Asíntota horizontal: y = 1

4

2

Mínimo en (0, 0).

–2

3
3
f ' (x) = 2x · x – (x – 1) · 2x = 2x – 2x + 2x = 2x = 2
x4
x4
x4
x3
f ' (x) ? 0 8 f (x) no tiene puntos singularesObservamos que f ' (x) < 0 si x < 0; y que f ' (x) > 0 si x > 0. Luego la función es decreciente en (–@, 0) y es creciente en (0, +@).
• Corta al eje x en (–1, 0) y (1, 0).
• Gráfica:
2
–4

–2

y=1
2

4

–2
–4
–6

12

Unidad 7. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD

7

Página 194
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR

Tasa devariación media
1 Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:

a) [–2, 0]

b) [0, 2]

c) [2, 5]
–2 0

2

5

f (0) – f (–2)
3–1
=
=1
0+2
2

a) T.V.M. [–2, 0] =

b) T.V.M. [0, 2] =

f (2) – f (0)
0–3
3
=
=–
2–0
2
2

c) T.V.M. [2, 5] =

f (5) – f (2)
1–0
1
=
=
5–2
3
3

2 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo[1, 3] e indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:
a) f (x) = 1/x
b) f (x) = (2 – x)3
c) f (x) = x 2 – x + 1
d) f (x) = 2 x
☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece.
T.V.M. [1, 3] =

f (3) – f (1)
3–1

a) T.V.M. [1, 3] =

1/3 – 1
1
=–
8 Decrece
2
3

b) T.V.M. [1, 3] =

–1 – 1
= –1 8 Decrece
2

c) T.V.M. [1, 3] =

7–1
= 3 8 Crece
2

d) T.V.M.[1, 3] =

8–2
= 3 8 Crece
2

Unidad 7. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

13

3 Compara la T.V.M. de las funciones f (x) = x 3 y g (x) = 3x en los intervalos
[2, 3] y [3, 4], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo.
Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19
T.V.M. [3, 4] = 37
Para g (x): T.V.M. [2, 3] = 18
T.V.M. [3, 4] = 54
En [2, 3] crece más f (x).
En [3, 4] crecemás g (x).
4 Dada la función f (x) = x 2 – 1, halla la tasa de variación media en el intervalo [2, 2 + h].
T.V.M. [2, 2 + h] =

2
f (2 + h) – f (2)
= 4 + h + 4h – 1 – 3 = h + 4
h
h

5 Comprueba que la T.V.M. de la función f (x) = –x 2 + 5x – 3 en el intervalo
[1, 1 + h] es igual a –h + 3. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [1, 2], [1; 1,5], utilizando la expresiónanterior.
T.V.M. [1, 1 + h] =

2
f (1 + h) – f (1)
= – (1 + h + 2h) + 5 + 5h – 3 – 1 = 3 – h
h
h

T.V.M. [1, 2] = 2
T.V.M. [1; 1,5] = 2,5

Derivada en un punto
6 En esta función se han trazado las tangentes en los puntos A, B y C. Halla sus pendientes y di el valor de f ' (–5); f ' (0) y f ' (4).
A

B
2
–2

mA =

C

0–4
4
4
=–
8 f ' (–5) = –
–2 + 5
3
3

mB = 0 8 f ' (0)= 0
mC =

14

2–0 2
2
=
8 f ' (4) =
7–4 3
3
Unidad 7. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

UNIDAD

7 a) Halla f ' en los puntos de abscisas –3, 0 y 4.

7

f

☛ Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en

6

esos puntos.

4

b) En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa?

2
–2

a) f ' (–3) = –3, f ' (0) =

2

4

3
, f ' (4) =–2
2

b) Positiva.
8 a) ¿En qué puntos de esta función la derivada vale 0?

–1

1

3

b) ¿Cuánto vale f ' (4)?
c) Di para qué valores de x la derivada es negativa.
a) En (1, 5) y en (–3, 2).
b) m =

2–0
= –2 8 f ' (4) = –2
4–5

c) (–@, –3) « (1, +@)
9 Aplicando la definición de derivada, calcula f ' (–2) y f ' (3), siendo:
f (x) =

2x – 3
5

2 (–2 + h) – 3 7
——————–...