Matematica Basica

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Series de potencias y funciones elementales
Contenidos
8.1. Series de potencias 8.2. Funciones elementales 8.3. El teorema fundamental del Álgebra 8.4. Ejercicios

Competencias
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Saber calcular el radio de convergencia de una serie de potencias y conocer su significado. Saber aplicar técnicas formales manipulativas con series y el teorema de Abel para calcular sumas de series. Conocer quelas funciones elementales: exponencial, logaritmo, seno, coseno, arco tangente... son series de potencias. Y sacar partido de este hecho. Conocer la medida analítica de ángulos usando las funciones trigonométricas. Capacidad de entender la demostración analítica del teorema fundamental del Álgebra.

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Series de potencias y funciones elementales

A lo largo delos capítulos anteriores se han utilizado las funciones elementales a través de sus propiedades. Progresivamente se han introducido rigurosamente todas ellas, con la excepción de las funciones seno y coseno. En la última lección del curso le llega el turno a éstas. El concepto de serie de potencias y de función expresable mediante serie de potencias es el colofón de la asignatura y una ocasiónpara poner en acción buena parte de los instrumentos que han ido apareciendo a lo largo del curso. Además constituye por sí mismo una noción importante que será estudiada con mayor profundidad en cursos superiores. Para el objetivo que nos hemos marcado es innecesario realizar un estudio de las sucesiones y de las series de funciones y de la noción de convergencia uniforme, un concepto difícil paralos estudiantes de primer curso en contextos generales. Nos basta con limitarnos a series de potencias. En ese caso todo es más fácil, incluso la convergencia uniforme (el criterio de Weierstrass de convergencia uniforme es todo lo que se necesita) que da soporte a los teoremas de permiten considerar los polinomios infinitos formalmente como si de polinomios finitos se tratase en cuanto acontinuidad, derivabilidad e integrabilidad de la suma. Ello permite presentar las funciones elementales (seno y coseno, en particular) y la noción de longitud de arco (ángulo) desde un punto de vista analítico.

8.1.

Series de potencias

En lo que sigue se considera que el cuerpo de escalares es indistintamente R o C que denotaremos con K. Definición 8.1.1 Una serie de potencias en torno a z0 ∈ K esuna expresión del tipo
∞ n=0

an (z − z0 )n

la serie converge absolutamente. O dicho de otra manera, la serie converge absolutamente para todos los z que verifiquen |z − z0 | < 1 l´ sup ım 280
n

Para cada valor de z se tiene una serie numérica en K que puede o no ser convergente. Es claro que para z = z0 siempre lo es, y dependiendo de cual sea la sucesión (an )n puede que no haya otrovalor diferente de z para el que la serie converja. El análisis de la convergencia absoluta de la serie ∞ an (z − x0 )n puede realin=0 zarse con ayuda del criterio de la raíz 7.2.7 (o también del cociente) obteniéndose que si ım l´ sup n |an ||z − z0 | = |z − z0 | l´ sup n |an | < 1 ım

donde (an )n∈N es una sucesión dada en K y z ∈ K.

|an |

.

8.1 Series de potencias

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Lo cualmotiva el concepto de disco de convergencia introducido a continuación. Definición 8.1.2 El valor R := 1 l´ sup ım
n

|an |

se llama el radio de convergencia de la serie dada, entendiendo que cuando se ım tenga l´ supn n |an | = 0 se toma R = ∞, mientras que si l´ supn n |an | = ∞ se ım toma R = 0. La bola abierta con centro z0 y radio R recibe el nombre de disco de convergencia. Para losvalores z que satisfacen l´ sup n |an ||z − z0 | > 1 el término general de ım ∞ n la serie n=0 an (z − z0 ) no tiene límite cero (ya que para un conjunto infinito de valores de n se tiene n |an ||z − z0 | > 1) y por tanto la serie no converge. Así pues la serie ∞ an (z − z0 )n converge absolutamente si |z − z0 | < R y no converge si n=0 |z − z0 | > R. En el borde del disco de convergencia, es decir...