Matematica númer

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ISFD N°14
¿Cómo surgieron los números?

De la misma manera que los primeros intentos de escritura ocurrieron mucho después del desarrollo del lenguaje oral, así los primeros esfuerzos para la representación gráfica de los números vinieron cuando ya los pueblos habían aprendido a contar y a realizar operaciones numéricas. Como los hombres primitivos carecían de unidades de medida, no teníanmoneda, ni comercio, ni sistema de tasación, ni aun necesidad de ello; los números escritos aparecieron en tiempos muy posteriores al lenguaje gráfico. Juzgando por los hábitos de las tribus primitivas del presente y por los vestigios de numeración escrita o esculpida hallados en diferentes lugares, no cabe duda que los primeros números fueron muescas en un palo, rayas en una piedra, nudos en unacuerda, marcas en piezas de cerámica, o cosas similares.
La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de Dominios Enteros (Anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidadconsiderable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.2

El término"aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritméticade Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.


Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.


[editar]Teoría elemental de números

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentesde otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teoremachino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y losnúmeros de Fibonacci.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muyprofundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:

▪ Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.
▪ Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos
▪ Último teorema de Fermat (demostrado en 1995)
▪ Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zetade Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.

[editar]Teoría analítica de números

La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring,...