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Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

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siempre y cuando la integral esté definida.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe latransformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

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La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

1.-Perspectiva histórica

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de suteoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

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— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidadde probabilidad de la forma:

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— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.

Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez deusar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

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— análoga a la Transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, yde alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de Series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicaciónen la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surgen en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Tratando de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que losoperadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

(D − a)y = f(t)

— donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

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Heaviside observó que si se trataba al operador D como unavariable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

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Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

y'' − 3y' + 2y = et

— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

(D2 − 3D + 2)y = et

Heavisidepropuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

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Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

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Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto...
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