Matematica

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD “DR. JOSÉ GREGORIO HERNÁNDEZ”
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
PERÍODO ACADÉMICO PAR III 2010
CÁTEDRA MATEMATICA

MATEMATICA
SERIE DE TAYLOR

Integrantes:
Castillo, Alva
González, Karen


Maracaibo, Diciembre de 2010

ESQUEMA

1.Reseña Histórica de la Serie de Taylor.
2. Definición de la Serie de Taylor.
3. Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables.
4. Aplicaciones de la Serie de Taylor.
5. Teorema de la Serie de Taylor.
6. Ejercicios Básicos de Series de Taylor.

DESARROLLO

1. Reseña Histórica de la Serie de Taylor.

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylory métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama. A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregorytambién trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Tayloren el siglo XVIII.

2. Definición de la Serie de Taylor.
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo(a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la seriese le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, esla óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejosque es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
f (x) = f (x) = f (a) + f´ (a) (x – a) + f´´ (a) (x – a)2 + f (3) (a) (x – a)3 + …
1! 2! 3!
que puede ser escrito de una manera más compacta como:
∞
f (x) = Σ f (n) (a) (x – a)nn=0 n!
donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
3. Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también...