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Las Ecuaciones Diferenciales son aquella donde se ve involucrada la derivada de una o más funciones. Las ecuaciones diferenciales pueden ser de dos formas:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: Son aquellas que involucran la derivada de una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: Son aquellas que involucran las derivadas de más de dos variables.
Las ecuacionesdiferenciales la podemos encontrar en diferentes aéreas de aplicación, no solo en la ingeniería, también lo encontramos en la parte química, física, biología, medicina, estadísticas, etc. Es solo saber reconocer donde encontramos estas ecuaciones y en qué sentido nos ayuda en la vida cotidiana.
Las ecuaciones diferenciales poseen sus propiedades:
La diferenciación es lineal, es decir: , en donde fy g son funciones y a es una constante.
Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla .
Las propiedades anteriores fueron extraídas del material de apoyo expuesto en la plataforma.
Las ecuaciones diferenciales también son de variables separables, este tipo de ecuación es todaaquella que se escriba de la siguiente forma:
f(t,x) como el producto de dos funciones f(t) y g(x) que dependen solo de t, una de ellas, y la otra depende de x. Esto es: f(t)g(x). Entonces, se puede escribir dx/dt=f(t)g(x). Una expresión de esta forma es una ecuación diferencial de variable separable.
Ejemplo de una ecuación diferencial separable:
La siguiente ecuación: dy/dx=(2x+xy)/(y^2+1)
Estaecuación es separable ya que factorizando el numerador se obtiene lo siguiente:
(2x+xy)/(y^2+1)=(x)((2+y)/(y^2+1))=g(x)p(y)

Otro punto importante es las ecuaciones diferenciales que son de tipo homogénea, la cual se define de la siguiente forma:
Una ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Sea la función Z = ƒ(x,y), se dice que es homogénea de grado "n" si se verifica que f( tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo "n" un número real.
A continuación se muestra un ejemplo sencillo de este tipo de ecuaciones diferencial:
Determine si la función es homogénea:









Por lo tantoLa función es Homogénea de grado 3.

Ecuación diferencial exacta, es otro tipo de ecuaciones diferenciales, este tipo de ecuación no es más que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y sus derivadas parciales son iguales.

Como se dijo anteriormente la derivada parcial son iguales. M y N y
Forma de resolver una ecuación diferencial exacta:
Verificar sies exacta, es decir comprobar si las derivadas parciales son iguales.
Se integra M o N según convenga. Se obtiene algo como:

Se debe derivar f(x,y) respecto a la variable independiente de g
Se iguala g´ con M o N( según cual se haya integrado)
Por último se reemplaza g.
Cuando se realiza el estudio de las ecuaciones diferenciales exactas nos encontramos con una variante muyimportante, el cual es el “factor integrante”. La función de dicho factor es que cuando la ecuación diferencial no es exacta se multiplica por este y se convierte en exacta. Este factor es: µ(x,y) este es el factor integrante de la ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales lineales, es una ecuación diferencial ordinaria que tiene una forma general:

Las ecuaciones diferenciales linealespueden ser de orden n es decir:
Una ecuación diferencial lineal de n orden se define así:

La derivada mayor es de orden n-esimo.
El principio de Bernoulli o también denominado ecuación de Bernoulli o ecuaciones diferenciales de Bernoulli, estas son ecuaciones diferenciales de primer orden, formuladas por el Sr. Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano.
Estas ecuaciones tienen la...
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