Matematica
Capítulo
1
SISTEMA DE COORDENADAS
Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2) y D = (4,−2) son los vértices de un cuadrado. Solución:
! ! ! ! AB = BC = AD = CD = 9 + 16 = 25 = 5 16 + 9 = 25 = 5 9 + 16 = 25 = 5 16 + 9 = 25 = 5 AB = BC = AD = CD = 5 LQQD
Como :
ˆ
ABCD es un cuadrado.
1
Capítulo 1. SISTEMA DECOORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A = (−1,1) y
B = (3,1) . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
Sea C = (x,y ) el tercer vértice. ! ! = ! ! BC = AC
(x − 3)2 + (y − 1)2
= →
(x + 1)2 + (y − 1)2 (x − 3)2 + (y − 1)2
"
BC = AB = 16 →
!
De
" y !:
x =1 y = 1± 2 3
ˆ
C = 1,1 ± 2 3
(
)Dados los puntos P1 = (2,−3) y P2 = (−1,2) encontrar sobre P1 P2 el punto que diste doble de P1 que P2 . Solución:
Sea P = (x,y ) el punto pedido. ! r= PP1 P2P = 2 =2 1
!
x + r x 2 2 + 2(− 1) = = x= 1 1+ r 1+ 2 = 2−2 0 = =0 3 3 ! x=0
2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! y=
y1 + r y 2 − 3 + 2 (2) − 3 + 4 1 = = = 1+ r 1+ 2 3 3 1 P = (x, y ) = 0, 3
!
y=
13
ˆ
El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P = (4,9 ) y Q = (− 2,1) . Calcular el área de este rombo. Solución:
PQ = 36 + 64 = 100 = 10
!
x 2 = 5 10
(
)2 − 5 2 = 250 − 25
!
!
x 2 = 225
!
x = 15
Luego : : A = D × d 30 × 10 = = 150 2 2 A = 150 m 2
3
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadasde los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P = (2,2) y Q = (1,5 ) . Solución:
! Cálculo de A = (x 1 ,y 1 ) : ! r= AP PQ 2= =1 1 + x1 2
!
x1 = 3 y 1 = −1
!
y +5 2= 1 2 A = (3, − 1)
!
ˆ
Cálculo de B = (x 2 ,y 2 ) : 1= 5= 2 + x2 2 2 + y2 2
!
!
! r=
PQ QB
x2 = 0 y2 = 8
=1 !
!
ˆ
B =(0,8 )
La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
M = (3, − 2 ) ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12 . Hallar
las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.
4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Solución:
! Si ! Si AB = −12 ! x − 3 = −12 MN = 13 ! ! x = −9 = 13 ! y = −7
(x − 3 )2 +(y + 2)2
ˆ
N = (x, y ) = (− 9, − 7 )
Tres de los vértices de un paralelogramo son A = (− 1,4 ) , B = (1, − 1) y
C = (6,1) . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?
Solución:
Sea D = ( x ,6) el punto pedido. ! AD = BC !
(x + 1)2 + (6 − 4) 2
=
(6 − 1)2 + (1 + 1)2
5
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Efectuando operaciones: ! x 2 + 2x − 24 = 0 ! x1 = 4 x 2 = −6
Luego : ! D = ( x ,6 ) ! D = (4,6 )
El punto medio de cierto segmento es el punto M = (− 1,2 ) y uno de sus extremos es el punto N = (2,5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido. ! ! xM = yM = x + xN 2 y + yN 2 ! −1 = ! 2= x+2 ! x = −4 2 y+5 2 ! y = −1
ˆ
P = (x, y ) = (− 4, − 1)
Los vértices de un triángulo ABCson A = (2, − 1) , B = (− 4,7 ) y C = (8,0 ) . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución:
Sabemos que :
6
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
!
x + x 2 + x3 x= 1 3 y + y 2 + y3 y= 1 3
! x=
2−4+8 3
! x=
6 =2 3
!
! y=
− 1+ 7 + 0 6 ! y= =2 3 3
ˆ
G = (x, y ) = (2,2)
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une lospuntos
A = (1, − 1) y B = (4,5 ) en la dirección AB, para que su longitud se triplique?
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido. ! Sabemos : AB BP = 1 2 ! BP = 2 AB
7
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
!
(x − 4 )2 + (y − 5 )2
=2
(4 − 1)2 + (5 + 1)2
Efectuando operaciones : ! ! x 2 + y 2 − 8x − 10y − 139 = 0 AB + BP = AP = →
"
También : !
(4 − 1)2 + (5 + 1)2...
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