Matematica

EDERIVADA PARCIAL:
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x, y, z), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es lamáxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar lasotras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico,descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres.


La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia, dejando a fija y otra según cambia , dejando a fija.
Suponga quedejamos variar sólo a, dejando a fija, digamos, en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable, a saber. Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en. De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.
Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática deprocesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función u(x1,...xn) tiene la siguiente forma.

F es una función lineal de u ysus derivadas si, reemplazando u con v+w, F puede escribirse F (v+ F (w), y si, reemplazando u con ku, F puede escribirse como.

Si F es una función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace.
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

Donde u es una función de x e y.Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

Donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es.

Que tiene la siguiente solución.

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x).Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces...