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TEMA: TEORÍA de Conjuntos


CONCEPTO
Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; )

Ejemplos:
A = {1; 4; 6; 8; 10; 12}
B = {a;e; i; o; u}
C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0)

RELACIÓN DE PERTENENCIA ()
Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte o es agregado de dicho conjunto. La pertenencia () es un vinculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjunto.

(elemento)  (conjunto)

OBSERVACIÓN:
 “no pertenece a”

Ejemplo:
Sea A = {a; ; {a; b}; {4; 5}}
a A  b  A
{4}  A
  A
{}  A
{a; b}  A
OJO:
En el caso de que A = {a, b, {a}, {a, b}}, entonces:
La proposición a  {a} es una verdad absoluta independiente del conjunto A, sin embargo teniendo en cuenta al conjunto A, la proposición a  {a} es falso pues “a” y {a} son elementos del conjunto A (De manera similar ocurre en el caso b  {a, b}. Estas son pues, las famosas “paradojas”o ambigüedades conjuntistas.


DIAGRAMAS DE VENN
Son regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizar que elementos están o no en él. Por ejemplo:



Conjunto Universal o Referencial

U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12}
A = {2; 3, 4; 5}
B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9}
C = {8; 9; 10; 11; 12}

NOTA:
n(A) = # (A)se lee “número de elementos o cardinales de A, así de los ejemplos anteriores:
n(A) = 5; # (B) = 7; # (C) = 5; n(U) = 12
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Por Comprensión
Resulta cuando se da a conocer una característica común a todos los elementos que forman un conjunto:

Ejemplo:

A = {3x  N/ x < 2}



Por extensión
Resulta cuando se nombre explícitamente a cada uno los elementos queforman un conjunto.
De los ejemplos anteriores:

Para A:
x < 2  3x < 6

Como: 3x  N:
3x = 1, 2, 3, 4, 5
A = {1; 2; 3, 4; 5}

Para B:
Tabulando

x
1
2
3
4
5
6
7
8

0

4

12

2

 B = {0; 4; 12; 24}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusión o Subconjunto
El conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son también elementos de B; es decir:A  B   x  A  x  B

Notas
1. A  A,  A
2.   A  = “Conjunto vacío o nulo”
3. Si A = B y además A  B entonces A es subconjunto propio de B.



4. Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k
Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6}

Subconjuntos:
: {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}
Se observa 23 = 8 elementos.

Para determinar la cantidad desubconjuntos “n” arios (binarios ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene:

. n= .
Propiedades:
Propiedades Reflexivas: A  A
Propiedad Antisimétrica:
Si: A  B  B  A  A = B
Propiedad Transitiva:
Si: A  B  B  C  A  C

Conjuntos Iguales
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tiene los mismos elementos, es decir:
A = B  A  B  B  A

OBSERVACIÓN:
{2;5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b}

Relaciones de Coordinabilidad de Conjuntos
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecer una correspondencia biunívoca.
Cuando dos conjuntos son coordinales tienen el mismo número de elementos.



Graficando:

Conjunto Comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido enel otro.
A y B comparables  A  B  B  A

No Comparables




CONJUNTO ESPECIALES
Conjunto Universal o Referencial U
Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto Universal o Referencial de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados:
El conjunto universal se puede elegir de acuerdo al estudio particular que se quiera analizar con algún conjunto.
El conjunto universal...