Matematica

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”

Unidad lll. Calculo Integral en Función de una Variable Independiente.

Integrante:
Diego Ramírez
C.I 21.045.950

Esquema

1.- Definición de Diferencial, Interpretación del Término Integral.
2.- Integrales Indefinidas: Definición de Primitivaso Anti derivadas.
3.- Integrales Definidas: Propiedades.
4.- Reglas de Integración: Integral de Constante por Diferencial, Integral de Diferencial, Integral de Variable Elevada a una Potencia, Integral de Suma o Diferencia de Funciones.
5.- Métodos de integración: Integrales Inmediatas, Integrales por Sustitución.
6.- Aplicaciones Económicas: Obtención de Funciones Económicas Totales,Determinación de Funciones de Ingreso Total y Costo Total a partir de Funciones Marginales, Excedente del Productor y Excedente del Consumidor.



1.- Definición de Diferencial: Como se ha señalado una variable continua presenta su posibilidad de cambio como cualidad esencial y en particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidaddiferente de cero que satisface la cualidad:

;
O bien:

Hasta este punto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre en una función.

Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede“aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura.
 

Fig. 1: Aproximación lineal de una función en un punto
 
De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el punto x0resulta ser:
y –y0 = f ´(x0) (x – x0)
Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia  Δx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma forma se puedeobservar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta tangente resulta:
dy = f´(x0) dx
Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su significado se puede observar en la figura 2.  Es importante señalar que en la notación diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar a partir de dy/dx =f´(x) la misma expresión.
 

Fig. 2: Diferenciales e incrementos.
 
Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figura esta igualdad es observable cuando realizas la operación Δx→0.
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,  aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de lapendiente de la línea recta y´  =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

 
 En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0  se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0).Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0   por x0+dx, donde el incremento  dx  es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces  podemos analizar que existen dos puntos...