Matematicas basicas

PREGUNTAS OBLIGATORIAS

1. Resolver [pic], donde -8 < a < -4. 2 puntos

2. Hallar los valores de n para los cuales el sistema de ecuaciones lineales:

[pic]
i. tiene infinitas soluciones
ii. tiene solución única
iii. no tiene solución
3 puntos

3. Calcular elvalor de E = [pic]. Dar la respuesta en la forma a+bi , con a y b números reales.
3 puntos

4. El centro de la circunferencia C: [pic], es el vértice V de una parábola P cuya directriz es una recta vertical tangente a C. Si la parábola P corta al eje Y, determinar:
a) La ecuación de la elipse que pasa por V y cuyos focos son los extremos del lado recto de P.
b) Graficar laelipse hallada en a).

4 puntos
PREGUNTAS ELECTIVAS

Elegir solo una pregunta entre la 5 y 6.

5. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el origen y que son tangentes simultáneamente a las rectas L1: [pic] y L2: [pic].
4 puntos

6. Sea la circunferencia C, tangente a la recta L: 3x-4y-7=0, con centro en la intersección de las rectas L1 : [pic] y L2 : [pic].Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo ABD, con D(8;-4) y tal que el lado AB es tangente a C en T, siendo T el punto medio de AB.
4 puntos

Elegir solo una pregunta entre la 7 y 8.

7. La parábola P tiene como directriz a la recta D: [pic] y su foco está sobre la recta L: [pic]. Si se sabe que el punto Q(-1;7) es un punto de la parábola P:a) Hallar la ecuación de la parábola P.
b) Graficar la parábola P, señalando las coordenadas de su foco y vértice, y la ecuación de su eje focal.
4 puntos

8. Los focos de la elipse E son los focos de las parábolas:

[pic], [pic]

y la longitud de su lado recto es igual a la longitud del lado recto de la parábola [pic].
a) Hallar la ecuación de la elipse Eb) Graficar la elipse E. Dar la ecuación del eje focal de E.

4 puntos

Evaluación elaborada por todos los profesores del curso.
Coordinadora de teoría: Profesora Cecilia Gaita.

San Miguel, 18 de octubre de 2 008.

SOLUCIONES PROPUESTAS
1)

Restricción 4x2 + ax > 0 ( x(4x + a) > 0 ( x ( ]-(; 0] ( [-a/4; ([
Como -8 < a < -4 ( 1 < -a/4 < 2, así, Rest. = ]-(; 0] ( [-a/4; ([ – {2}Caso 1: si x – 2 > 0, entonces x > 2, osea x ( ]2; ([
[pic] ( 4x2 + ax < 4x2 – 16x + 16 ( (a + 16)x < 16 ( x < 16/(a + 16)

Pero 16/(a + 16) < 2 cuando -8 < a < -4, asi, CS1 = (

Caso 2: si x – 2 < 0, entonces x < 2, osea x ( ]-(; 2 [
El cociente [pic], por lo tanto [pic], así CS2 = ]-(; 2[

Por lo tanto, CS = (CS1 U CS2 ) ( Rest. = ]-(; 0] ( [-a/4; 2[

2)

[pic][pic] [pic]

[pic][pic] [pic][pic]

Factorizando algunos términos, se tiene:

[pic]
Luego,
a) tiene infinitas soluciones,
si n = - 3.

b) tiene solución única, si [pic].

c) no tiene solución, si n = 3.

3)[pic]=[pic]= 1 – i
[pic]=[pic]= [pic]= 1
[pic]=[pic]
[pic]= [pic]= [pic]= [pic]
E = [pic]= [pic]= [pic]

4)

a)C : [pic], centro C(1; 3) = V, radio r =2
P : V(1; 3), LD: x = 3; (se abre hacia la izquierda) p = -2,
Entonces el foco y los extremos del lado recto de P son respectivamente: (-1; 3), (-1; 7) y (-1; -1).
La elipse E tiene focos, F1= (-1; -1) y F2 = (-1; 7), y su centro es (-1; 3)
Además, c = 4; b =(p(= 2, en consecuencia, [pic].
Luego su ecuación es E :[pic].

Vértices: V1[pic] y V2 = [pic]

b)

5)[pic]

A es la intersección de L1 y L2 entonces A(-2;-2)
Sea m pendiente de L bisectriz de L1 y L2. Entonces se verifica que:
ángulo (L1, L) =ángulo (L2,L)

y se obtiene que m=1
De donde L: y=x

El centro de la circunferencia es C( h; h) ; está sobre L
Además el radio R=d(C, L1)=d(C, O) siendo O el origen de coordenadas
Se tiene [pic]
Obteniéndose dos soluciones: [pic]
Luego, las...