Matematicas

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El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con "n" a la variable independiente de la sucesión, dichocriterio establece que si llamamos L al límite para "n" tendiendo a infinito de An+1/An se obtiene un número L, con los siguientes casos:
Si L1, An diverge.
Si L=1, el criterio no dice algo y esnecesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
∑_0^∞▒〖f(n)〗

Tal que:
f(n)>0(o sea una sucesión de terminos positivos) y
f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
con n tendiendo a infinito.
Asíobtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:
L < 1 la serie converge
L > 1 la serie diverge
L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Sea:
Clasificar
a)
b)tiende a cero conforme crece n (porque el factorial siempre es mayor)
c) Aplicando D'Alembert:

y como L 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

donde labarra vertical denota la norma (que en el caso particular del campo de los reales viene siendo el valor absoluto).
Análogamente, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números complejos.
[editar]Propiedades
Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:
Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
Toda sucesión de Cauchy está acotada
Criterio deconvergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.
La prueba de laraíz fue desarrollada primero cerca Cauchy y se conoce tan a veces como Prueba de la raíz de Cauchy o Prueba radical de Cauchy. La prueba de la raíz utiliza el número
donde el “sup del lim” denota...
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