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Cap´ ıtulo 2

Sucesiones y Series
2.1.
2.1.1.

Progresiones aritm´ticas y geom´tricas e e
Sucesiones

Definicion 1 Se llama sucesi´n a cualquier secuencia infinita y ordenada de n´meros o u ({aj }j∈N = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) tal que cualquier elemento de esta secuencia este unica´ 1 mente determinado. Ejemplo 2.1.1 (de sucesiones) 2, 6, 12, 20, 30, . . . , an = n(n + 1) 1,2,2,3, 3,4, 4,5, 5,5, . . . , an = 0,1 + 1,1n 1 1 1 1 1 1 , , , , , . . . , an = 2+1 2 5 10 17 26 n 150, 200, 250, 300, . . . , an = 150 + (n − 1)50 1, 2, 8, 16, 32, . . . , an = 2n−1 1, 4, 1, 5, 9, . . . , an = nesimo decimal de π

2.1.2.

Progresiones aritm´ticas e

Una sucesi´n de n´meros reales, es una progresi´n aritm´tica (P.A) si la difero u o e encia entre cada t´rmino y el anterior esconstante. La constante en una P.A se llama e diferencia com´ n y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede comu pletamente definida, adem´s de especificar su diferencia com´n d, debemos especificar a u el primer t´rmino de la progresi´n que usualmente se denota a1 . e o Ejemplo 2.1.2 (de P.A.’s) 0, 1, 2, 3, 4, . . . 7, 14, 21, 28, 35, . . . 10, 1, −8, −17, −26, . . .
1

a1 = 0, d= 1 a1 = 7, d = 7 a1 = 10, d = −9

M´s t´cnicamente, una sucesi´n de n´meros reales es cualquier funci´n f : N → R a e o u o

44

Sucesiones y Series

´ Observacion 1 Si a1 es el primer t´rmino de una progresi´n aritm´tica cuya diferencia e o e com´n es d ,entonces : u an = a1 + (n − 1)d Suma de los primeros n t´rminos de una P.A. e Un problema muy frecuente, es saber calcular la suma delos primeros n t´rminos de e una progresi´n aritm´tica. Existe un m´todo, bastante sencillo e ingenioso para calcular o e e dicha suma y se ilustra a continuaci´n. o Consideremos una P.A. definida por a1 = 1, d = 1. Llamemos Sn a la suma de los primeros n t´rminos de esta P.A. Nuestra tarea ser´ calcular Sn . e a Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n Sn = n + (n - 1) + (n - 2) + · · · + 1 2Sn = (n + 1) + (n +1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = n (n + 1) ⇒ Sn = n (n + 1) 2 (2.1)

Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma de los primeros 100 n´meros naturales. u S100 = 1 + 2 + . . . + 100 = 100 · 101 100(100 + 1) = = 5050 2 2

Ejercicio 2.1.1 Sea {aj }j∈N una progresi´n aritm´tica cuyo primer t´rmino es a1 y o e e cuya diferencia com´n es d. Demostrar que la suma de los primeros n t´rminos es : u e a1 + a2 + · · ·+ an = n [2a + (n − 1)d] 2

2.1.3.

Progresiones geom´tricas e

Una sucesi´n de n´meros reales es una progresi´n geom´trica (P.G) si el cuoo u o e ciente de cada t´rmino con el anterior es constante. Esta constante se llama raz´n e o com´ n y la denotaremos con la letra r. Adem´s, para que una P.G quede completau a mente definida, debemos especificar el primer t´rmino de la progresi´n quedenotaremos e o a1 . Ejemplo 2.1.4 (de P.G.) 1, 2, 4, 8, . . . −3, 3, −3, 3 . . . x, mx, m x, m x, . . . ,
2 3

a1 = 1, r = 2 a1 = −3, r = −1 a1 = x, r = m

´ e o e o Observacion 2 Si a1 es el primer t´rmino de una progresi´n geom´trica cuya raz´n com´n es r, entonces : u an = a1 rn−1

2.1 Progresiones aritm´ticas y geom´tricas e e Suma de los primeros n t´rminos de una P.G. e

45Consideremos una P.G cuya raz´n com´n es r y cuyo primer t´rmino es a1 . Llamemos o u e Sn a la suma de los primeros n t´rminos de esta progresi´n. Nuestra tarea ser´ calcular e o a Sn . Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + · · · + a1 rn−1 rSn = a1 r + a1 r2 + · · · + a1 rn−1 + a1 rn Sn − rSn = a1 - a1 rn Sn (1 − r) = a1 - a1 rn ⇒ Series geom´tricas e Sea Sn la suma de los primeros n t´rminos de una P.G. De acuerdoa 2.2 ,sabemos e que : 1 − rn a1 a1 n = − r (2.3) Sn = a1 1−r 1−r 1−r Definicion 2 Llamaremos serie geom´trica a la suma de los infinitos t´rminos de una e e progresi´n geom´trica y la denotaremos S∞ . o e A primera vista, puede que para alguien la suma de infinitos t´rminos deba ser infinita. e En realidad, esto no es necesariamente cierto. De hecho, los griegos se sorprendieron mucho con este...
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