Matematicas

Teoría de conjuntos:
Noción de conjunto: la idea de conjunto es el de reunión o agrupación de objetos materiales o inmateriales, distintos y bien definidos. Ejemplos:
a) Los números enteros positivos forman un conjunto llamado: “conjunto de los números enteros positivos”.
b) Los bienes materiales, los recursos humanos y los sistemas forman un conjunto denominado: “elementos que integranla empresa”.
Elementos de un conjunto: cuando se piensa en un conjunto de cosas, estas cosas, son los “elementos” del conjunto. De este modo:
1. La letra a es un elemento del conjunto “vocales del español”
2. Todo tigre es un elemento del conjunto “fieras”
3. El número 4 es un elemento del conjunto “números naturales”
La palabra “elemento” se cambia a veces por sinónimos (en verdadmenos generales) como socio, miembro, componente y otros. Por ejemplo: Manuel es socio del club Alianza Lima, Felipe es miembro del jurado nacional de elecciones. Pero nosotros utilizaremos casi siempre la palabra “elemento” como se acostumbra en la matemática.
Notación de un conjunto: En general los conjuntos se representan por letras mayúsculas: A, B, C, ….X, Y, Z, y los elementos, por letrasminúsculas: a, b, c, …..x, y, z. se acostumbra a escribir los elementos de los conjuntos entre llaves y separados por comas o punto y coma.
Ejemplo 1. A= {a; b; c; d; e};
Este conjunto se lee: “conjunto A cuyos elementos son: a, b, c, d y e”.
Ejemplo 2. B= {1; 2; 3; 4; 5; 6};
Este conjunto se lee: “conjunto B cuyos elementos son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6”.
Relación de pertenencia: la palabra“pertenece a” que significa lo mismo que “es elemento de” se usa con mucha frecuencia en el estudio de los conjuntos. Por esta razón se ha decidido representarla por un signo sencillo “∈”, este signo se lee de cualquiera de los modos que acabamos de poner entre comillas; utilizando este símbolo en los ejemplos que hemos dado, podemos expresar en forma más breve:
a ∈ “vocales del español”
6 ∈ “númerosnaturales”
Tigre ∈ “fieras”
La negación: En matemática se suele expresar la negación tachando con / el signo afirmativo.
Por ejemplo, como “=” significa “igual a” tendremos: 2+1 = 3; 2+3 ≠ 8; 6 ≠ 7 (se lee “no es igual a”). de este modo volviendo a los conjuntos, aparece el signo ∉ : que nos dicen: b ∉ “vocal”, b no es una vocal; caballo ∉ “fieras”, el caballo no es una fiera.
Observación: larelación de pertenencia sólo se establece entre un elemento y un conjunto.
Ejemplo: P= {a; b; 5; {d; e}; 9} diremos:
a ∈ P (verdadero); {d;e} ∈ P (verdadero)
b ∈ P (verdadero); 5 ∈ P (verdadero)
9 ∈ P (verdadero)
Problema: se tiene el siguiente conjunto
B = {1; {2;3}; 4;5; {6}}, señalar con V si la proposición es verdadera o con F si es falsa.
I. 1 ∈ B ………. IV. {2;3} ∉ B ……….II. 4 ∈ B ……... V. 5 ∉ B……………….
III. 6 ∈ B …….. VI. {6} ∈ B ……………
Resolución:
I. 1 ∈ B ……(V) IV. {2;3} ∉ B ….(F)
II. 4 ∈ B ……(V) V. 5 ∉ B………….(F)
III. 6 ∈ B ….(F) VI. {6} ∈ B ……(V)

Observación: la relación de pertenencia se utiliza entre elemento y conjunto.

Determinación o designación de conjuntos:
Un conjunto puede determinarse de dos formas: por Extensión y porComprensión.
* Determinación por extensión: consiste en la enumeración efectiva de cada uno de sus elementos, es decir, se nombra uno a uno sus elementos.
Ejemplo: A = El conjunto de los números naturales menores que 8.
Por extensión: A = {0;1;2;3;4;5;6;7}
Ejemplo: B = El conjunto de los números impares menores o iguales que 9.
Por extensión: B ={1;3;5;7;9}
* Determinación porcomprensión: para expresar un conjunto de esta manera se señala una propiedad común a todos los elementos. A esta manera de nombrar un conjunto se denomina también: forma abreviada o sintética de determinar un conjunto.
Ejemplo modelo: si un conjunto Q se ha determinado por comprensión, mediante el uso de la propiedad K, aplicado a sus elementos, dicho conjunto se menciona así: “Q es el conjunto de...