Matematicas

1

Cap´ ıtulo 8

Trigonometr´ ıa
M.Sc. Alcides Astoa M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

2
Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, Lisseth Angulo. o ıa y Walter Mora. CristhianPa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
8.1 8.2 8.3 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Algunos conocimientos previos degeometr´ plana . . ıa Medida de ´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8.3.1 Medida en grados . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Medida en radianes . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Relaci´n entre grados y radianes . . . . . . . . o 8.3.4 C´ ırculo trigonom´trico . . . . . . . . . . . . . . e Las funciones trigonom´tricas seno y coseno . . . . . . e 8.4.1 Representaci´n del gr´fico delas funciones seno o a Otras funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . e La pendiente de una recta como la tangente del ´ngulo a Identidades trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . e Ecuaciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . y coseno . . . . . . . . . . . . . . de inclinaci´n de o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´sta e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 9 10 12 15 17 29 33 47 49 61

8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

8.1

Introducci´n o

La palabra “Trigonometr´ procede del griego y su significado es “medida de tri´ngulos”. As´ se considera la ıa” a ı, trigonometr´ como aquella parte de la matem´tica que trata de los elementos de los tri´ngulos, tanto planos ıa a acomo esf´ricos. e No obstante a pesar del concepto de trigonometr´ que se acaba de ofrecer, hoy en d´ la trigonometr´ posee ıa ıa ıa otras muchas importantes aplicaciones que no se refieren espec´ ıficamente a los tri´ngulos. a Muchos fen´menos f´ o ısicos se representan de un modo regular o peri´dico, por ejemplo, el movimiento de un o p´ndulo oscila de modo regular; el voltaje de un circuito decorriente alterna oscila constantemente entre los e valores positivos y negativos; incluso las estaciones del a˜o tienen un ciclo perfectamente definido. n Por lo anterior, se dice que estos fen´menos tienen cambios peri´dicos. o o Para el estudio de estos cambios peri´dicos, se usan modelos matem´ticos, en los cuales las funciones trigonom´tricas o a e son fundamentales. Para iniciar el desarrollo deeste cap´ ıtulo, recordaremos algunos conceptos fundamentales de geometr´ plana. ıa

8.2

Algunos conocimientos previos de geometr´ plana ıa

Definici´n 1 o 3

4

Trigonometr´ ıa

Sea L una recta de ecuaci´n y = mx + b, con m ∈ R, b ∈ R. Si A y B son puntos de L, entonces escribimos o ←− −→ L = AB La recta L la podemos representar geom´tricamente sin usar coordenadas rectangulares dela siguiente forma: e

Definici´n 2 o Rayo. Sea L una recta de ecuaci´n y = mx + b, con m ∈ R, b ∈ R y sean A, B y C tres puntos en L como o se muestra en la siguiente figura:

Sea B = (x0 , y0 ). Los conjuntos definidos por: a.) b.) − − → BA = {(x, y) ∈ L/ x ≤ x0 } −→ − BC = {(x, y) ∈ L/ x ≥ x0 }

reciben el nombre de rayos y el punto B recibe el nombre de origen o punto inicial del rayo. − −...