Matematicas

FUNCIONES, PRECALCULO Y MAXIMOS Y MINIMOS

1. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS

Propiedades de la derivación.
El significado de la (’) es la primera derivada.
1- [c]’ = 0
2- [c • f(x)]’ = c • [f(x)]’
3- [f(x)g(x)]’ = [f(x)]’[g(x)]’
4- [f(x)•g(x)]’ = [f(x)]’•g(x) + f(x)•[g(x)]’

Reglas:

1- [fn(x)]’ = n•fn-1(x)•[f(x)]’

Extremos de una función real en variable real.
Definición:Se dice que x0 es un mínimo (máximo) local de una función f(x) si   > 0: x  (x0- , x0+) se tiene que f(x0)  f(x) ( f(x0)  f(x) ).

2. FUNCIONES

Definición: Se dice que x0 es un mínimo (máximo) global, si cumple las siguientes condiciones:
- Ser un extremo local.
- Es de los máximos (mínimos) locales el de mayor (menor) valor al evaluarse en la función.
Ejemplo:
f(x)=x2.Supongamos que los puntos x0= 2 y 3 son extremos locales de la función
Nos hacemos una pregunta: ¿Cómo determinar los extremos locales de una función?
Teorema: Si x0 es un punto de extremo local de f(x) y f(x) es derivable en x0  f’(x) = 0.
Definición: Llamaremos puntos estacionarios a todo punto x0 que cumpla que f’(x) = 0.
Definición: Llamemos puntos críticos si no en dicho punto ( f’(x0)  x0 Dom (f(x))).

3. RESOLUCION DE POROBLEMAS DE MAXIMOS MINIMOS CON COMPUTADORA

Criterio de la primera derivada:
Decimos que un punto de máximo (mínimo) local si:
f ’(x) > 0 ( f ’(x) < 0 ) para x0- < x < x0 y f ’(x) < 0 ( f ’(x) > 0 ) para x0 < x x0+.
Criterio de la segunda derivada:
Decimos que un punto x0 máximo (mínimo) local si f ’’(x) < 0 (f ’’(x) > 0).
Ejemplo: y = x3-x2+1.Primero calculamos su primera derivada: y’ = 3x2-2x.
Segundo la igualamos a cero: 3x2-2x = 0, con esto hallamos los puntos estacionarios x0 = 0 y 2/3.
Para la ayuda visual hagamos un gráfico de la siguiente forma:

En este gráfico vemos que hemos comenzado con el signo de + por el hecho que la función tiene como signo de la variable de mayor exponente el signo +. Si la función dada tiene elsigno + (-) comenzará con ese mismo signo. Si tenemos que la función es fraccionaria miramos el signo de la función del numerador y la del denominador y ponemos el signo de la división al igual que dividir dos números racionales.

Trazado de curvas.
El trazado de curvas lo veremos de la siguiente manera o orden de trabajo.
• Monotonía: Se dice que una función es monótona creciente(decreciente) enun intervalo (a,b) si la f ’(x)  0 (f ’(x)  0).
Si (f) es continua en [a,b] ,derivable en (a,b) y f ’(x) > 0 (f ’(x) < 0)  (f) es creciente(decreciente) en [a,b].
En el ejemplo anterior la función es creciente en el intervalo:
Creciente en (-,0)  (2/3, ). Decreciente en el intervalo restante.
• Concavidad: Si f ’’(x) > 0 (f ’’(x) < 0)  x  (a,b) la función es cóncava hacia arriba(abajo).
Asíntotas: Se denomina asíntota de la curva y = f(x) la rama infinita a una recta (L), tal que la distancia entre el punto (m) de la curva y dicha recta (L) tiende a (0) al alejarse infinitamente del origen de coordenadas.
A. Vertical: Tiene la forma x= a.
A. Oblicua: y= m x + n
A. horizontal: y = a
Para el calculo de las asíntotas verticales tomamos los valores del dominio paralos cuales la función no esta definida y calculamos en dichos puntos los limites de la función por la izquierda y la derecha. Si dicho límites dan entonces podemos decir que en dicho punto hay una asíntota vertical.
Para determinar las asíntotas oblicuas tenemos que resolver los siguientes limites, el primero va a ser igual a la pendiente de la recta y el segundo el intercepto con el eje Y: m =, n =. Si dicho límites existen entonces podemos decir que la función tiene asíntotas horizontales y ustedes se preguntaran porque digo asíntota en plural, ya que los límites cuando tienden a más o a menos infinito podrían ser diferentes. Siempre con la condición que existen dichos limites.
Ejemplo: f(x) =

Determinemos primero las asíntotas verticales, como el punto x = 2 no pertenece al...