Matematicas

Vol. XV No 1 Junio (2007) Matemáticas: 7784

Matemáticas: Enseñanza Universitaria

c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia

Solución aproximada para un problema vectorial mediante desarrollos de Fer
torge sF g—st—ño
Recibido Jun. 12, 2006

‡—lter hí—z
Aceptado Sept. 5, 2006

In this paper, our aim is to nd numerical analytical solutions to initial valueproblems using Fer developments. These problems are closely related to a kind of vector initial value problems.

Abstract

Keywords: vector initial value problems, exact solutions, Fer development. MSC(2000): 35C10, 35A20
En este artículo se propone encontrar, mediante el uso de los desarrollos de Fer, soluciones analíticas numéricas para problemas de valor inicial, relacionados con losproblemas vectoriales de valores iniciales.

Resumen

Palabras y frases claves:
desarrollo de Fer.

problemas vectoriales de valores iniciales, solución exacta,

1 Introducción
vos pro˜lem—s ve™tori—les de v—lores ini™i—les y— h—n sido estudi—dos por diE versos —utores ™omo ‘S“ y ‘T“F in este —rtí™ulo se en™ontr—rá un— solu™ión —proxim—d— ™ontinu— de l— solu™ión teóri™— ex—™t— y0 (t) delpro˜lem— @IA utiE liz—ndo el método de los des—rrollos de perD el ™u—l ™onsiste en represent—r l— solu™ión —proxim—d— ™omo un produ™to de fun™iones exponen™i—les m—tri™i—E lesF vos des—rrollos de per fueron o˜tenidos origin—lmente en l— d陗d— del SH p—r— l— resolu™ión de e™u—™iones diferen™i—les line—les no —utónomosF in estudios posteriores h—n sido —pli™—dos p—r— l— resolu™ión de l— e™u—™ión difeEren™i—l de un oper—dor line—l A(t) en me™áni™— ™uánti™— y l— ™orrespondiente —l oper—dor no line—l en me™áni™— ™lási™— ‘Q“D re™ientemente h— sido utiliz—do p—r— resolver e™u—™iones diferen™i—les line—les y no line—les ‘IH“F il método en men™ión tiene l— vent—j— de exigir un mínimo de ™ondiE ™iones — los ™oe(™ientes m—tri™i—lesD t—n sólo se exige ™ontinuid—d en ellosD frente — otros métodos queexigen ™ondi™iones mu™ho más fuertes ™omo difeE ren™i—˜ilid—d y —n—liti™id—dD entre otrosF gon respe™to — l—s desvent—j—s que pued— present—r el métodoD se dest—™— el elev—do ™oste ™omput—™ion—lD d—d— l— —p—ri™ión de fun™iones exponen™i—lesF wu™hos pro˜lem—s físi™os son model—dos en form— ve™tori—l ™on v—lores ini™i—lesF ijemplos de t—les sistem—s —p—re™en en pro˜lem—s de difusión @ver pFeFD ‘I“ y‘U“AD y en me™áni™— @ver pFeFD ‘P“AF

UV

J. Castaño y W. Diaz

in este —rtí™ulo se ™onsider— el pro˜lem— ve™tori—l de v—lores ini™i—les del tipoX

y0 (t) = A(t)y0 (t) + f (t) y0 (0) = y0 ™on 0 ≤ t ≤ b,

@IA

donde A(t) es un— fun™ión ™ontinu— que tom— v—lores en Cr×r D f (t) y y(t) son fun™iones ™on v—lores en Cr .

2 Notación y preliminares
edopt—remos los siguientes result—dos ynot—™ionesX il ™onjunto de todos los v—lores propios de un— m—triz M en Cr×r lo denot—remos por σ (M ) y el r—dio espe™tr—l de M D denot—do por ρ (M )D es el máximo elemento del ™onjunto

{|z| ; z ∈ σ (M )} .
v— norm— log—rítmi™— de l— m—triz ™u—dr—d— M D l— de(niremos porX

@PA

µ (M ) =

h→0, h>0

l´ ım

I + hM − 1 , h

@QA

donde I es l— m—triz identid—d en Cr×r F edemás

|µ (M )| ≤M µ (αM ) = αµ (M ) p—r— α ≥ 0 µ (M ) = m´x z ; z ∈ σ a M + MH 2 ,

@RA

™on M H l— tr—nspuest— ™onjug—d— de M F ƒi P (t) es un— m—triz regul—r y diferen™i—˜leD enton™es deriv—ndo en l— rel—™ión P (t)P −1 (t) = I D se dedu™e que

P −1 (t) = −P (t)−1 P (t) P −1 (t).

@SA

ƒi P y Q son dos m—tri™es de Cr×r D se ll—m—r— ™onmut—dor de P y Q — l— expresión [P, Q] = P Q − QP. @TA edopt—remost—m˜ién el lem— de f—n—™hX ƒi A es un— m—triz inverti˜le y se ™umple queX −1 B − A < A−1 , @UA enton™es B t—m˜ien es inverti˜le y

B −1 − A−1 ≤ A−1

B −1

B−A .

Solución aproximada para un problema vectorial mediante desarrollos de Fer UW

„eniendo en ™uent— enton™es l— desigu—ld—d

B −1 < A−1 − B −1 + A−1 ,
se puede es™ri˜ir (n—lmente

B −1 − A−1 ≤

A−1 1 − A−1

2...