Matematicas

RIEME (2006-2008)
Límite y continuidades de funciones

2. Límite y continuidad de una función
Se presenta un conciso resumen de los elementos fundamentales necesarios para la
comprensión del tema utilizando las experimentaciones que se proponen en cada caso.
Importante: el estudio este material no es suficiente para la aprobación de la
asignatura.
I. Distancia entre dos puntos en elconjunto de los números reales
Considere la recta real.
Figura 2.1.
Representación
gráfica de los
números reales.

La definición de distancia entre las abscisas a y b, se realiza utilizando el concepto
de valor absoluto y es:
Distancia (a; b) = | b – a |

(2.1)

1. a. Entornos e intervalos
Se llama entorno de centro a y radio h (siendo a un número real y h un número
real positivo), alsiguiente conjunto de puntos que se expresa,
E(a; h) = {x ∈ R / | x- a |< h}

(2.2)

y se lee:
“entorno de centro a y radio h es el conjunto de números reales que cumplen la
condición que la distancia ente entre x y a es menor que h”
•

¿Qué tipo de conjunto de puntos es el E(a; h)?
Por propiedades de valor absoluto de los números reales se sabe que:
| x- a |< h ⇔ -h < x – a < ha-h105
x −3

1
>105
x −3

x − 3 < 10-5 .
Por lo tanto, para cualquier x que pertenezca a un E´(a; ∂ ), con

∂

< 10-5, se cumple

lo pedido en (2.8).
Si en lugar de | f(x) |>105, se pide que | f(x) |> ε , para cualquier
llegará a que x debe pertenecer a un E´(a; ∂ ), con

∂

o ∃ ∂ ( ε )>0/ ∀ x: [x ∈ D

f

∧ | x- a |< ∂ ⇒ | f(x) |> ε ] (2.10)

x→a

Observación: el dominio def, “debe permitir acercarnos” a x = a.
En particular:
•

lím f (x) = +∞ ⇔ ∀ε >o ∃ ∂ ( ε )>o/ ∀ x: [x ∈ D

∧ | x- a |< ∂ ⇒ f(x) > ε ] (2.11)

lím f (x) = −∞ ⇔ ∀ε >o ∃ ∂ ( ε )>o/ ∀ x: [x ∈ D

∧ | x- a |< ∂ ⇒ f(x) < - ε ] (2.12)

f

x→a

•

f

x→a

En los tres casos, la recta de ecuación x = a se llama asíntota vertical al gráfico de la
función f.

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Definición de asíntota vertical
La recta de ecuación x=a es asíntota vertical al gráfico de la función f

⇔

lím f (x) = ∞

(2.13)

x→a

Ejemplos

Df = R-{1}.

Df = R-{1}.

Df = R-{1}.
Df = R-{1}.
Figura 2.6. Gráficas cuyo límite en x = 1 es infinito con idéntico dominio de definición.

•

Proponga tres funciones conidéntico dominio de definición cuyo límite sea
infinito en el punto x = -2.

•

Grafíquelas.

•

Halle los límites

lím f ( x) = ∞
x →−2

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•

Discuta los resultados con sus pares y tutores; escriba sus conclusiones.

VI. Generalización del concepto de limite en “infinito”
1.a. Límite finito para x“tendiendo a infinito” Introducción

Considere la función f/ f(x) =

2x + 1
.
x−3

• Observe la gráfica de f(x),

Figura 2.7. Gráfica
de la función
f(x) =

2x + 1
.
x−3

Df = R- {3}.

• Complete para la función f(x) =

2x + 1
el Cuadro 2.5 que sigue:
x−3

…

-104

-1000

-100

3

100

1000

104

…

…

1.9993

1.993

1.932

¿?

2.072

2.007

2.0007…

2

2
Cuadro 2.5. Límite en x= 3 para f(x) =

•

2x + 1
.
x−3

Observe que cuando las “x” crecen en valor absoluto, las imágenes f(x) cada
vez están más próximas a 2. Interesa determinar aquí el ∂ adecuado, para
que si | x |> ∂ , resulte | f(x)- 2 | <

ε , para cualquier ε

positivo.
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Se dice en estecaso que:

lím f ( x) = 2

(2.14)

x →∞

VII. Límite finito para x “tendiendo a infinito” Definición
Considere la función f(x) =

x2 − 3 x + 4
, su gráfica es:
x2 +1

Figura 2.7. Gráfica de f(x) =

•

1.a.

x2 − 3 x + 4
.
x2 +1

Explicite el dominio de f(x).

lím f ( x ) = L ⇔ ∀ε >o ∃ ∂ ( ε )>o/ ∀ x: [x ∈ D

f

∧ | x |> ∂ ⇒ | f(x)- L |< ε ] (2.15)

x →∞...