matematicas

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¿QUE ES LA MATEMATICA?
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Introducci´n. En este ensayo se revisan unas cuantas de las explicaciones
o
m´s populares de “qu´ es la matem´tica” desde la muy personal comprensi´n
a
e
a
o
del autor.
Hay dos cosas que este texto no es: no es el trabajo de un fil´sofo profeo
sional, aunque se intenta ser m´s o menos riguroso en la extracci´n de cona
o
clusiones a partir de lossupuestos empleados. Tampoco es una respuesta
definitiva a la pregunta del t´
ıtulo; es imposible explicar en unas cuantas
p´ginas la segunda profesi´n m´s antigua del mundo.
a
o
a
Si acaso este peque˜o ensayo es una invitaci´n a revisar lo que nos han
n
o
dicho en nuestros a˜os de formaci´n y las impresiones que hemos recibido
n
o
en nuestro quehacer con la matem´tica.
a
Para tratar deatacar nuestra pregunta, primero aceptamos que la matem´tica se dedica al estudio de ciertos objetos: objetos matem´ticos. A
a
a
continuaci´n revisamos cuatro explicaciones bien conocidas de lo que pueden
o
ser estos objetos matem´ticos. Analizamos en seguida unas cuantas de las
a
posibles consecuencias de aceptar, en sucesi´n, cada una de las explicaciones.
o
Finalmente, en cada uno deestos apartados, revisamos c´mo ser´ la pr´ctica
o
ıa
a
de un hipot´tico profesor de matem´ticas —un profesional— que aceptara
e
a
la validez de los supuestos revisados.
N´ meros. La matem´tica estudia un cierto tipo de objetos, por ejemplo,
u
a
n´meros:
u
Un profe de primaria le pidi´ a sus estudiantes que sumaran los n´meros
o
u
del 1 al 100; casi inmediatamente un ni˜o levant´ sumanita y dijo “son
n
o
5050”. ¿C´mo lo hizo? ¿Podr´
o
ıamos hacerlo nosotros? Veamos.
Primero acomod´ imaginariamente los n´meros del 1 al 100 frente a ´l:
o
u
e
1 2 3 ···

98 99 100

Despu´s los volvi´ a colocar, pero en orden inverso, debajo de la l´
e
o
ınea de
n´meros que ya ten´ enfrente:
u
ıa
1
2 3 ···
100 99 98 · · ·

98 99 100
3 2
1

Entonces —y esta es laobservaci´n importante— se fij´ en lo que suma cada
o
o
columna:
1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; . . . ; 99 + 2 = 101; 100 + 1 = 101.
1

2

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V´
ICTOR NUNEZ

Siempre es 101. ¿Cu´ntas veces? pues cien, porque tiene cien columnas;
a
as´ que sumar todos los n´meros —todos— es lo mismo que multiplicar
ı
u
101 × 100.
Y ´sta es una multiplicaci´n f´cil: 101 × 100 = 10100. Ahora10100 es dos
e
o a
veces la suma de 1 a 100, pues acomodamos dos filas de n´meros del 1 al
u
100; entonces, para obtener 1 + 2 + 3 + · · · + 100 debemos dividir 10100 entre
dos —cosa que cualquiera puede hacer 1 :
10100/2 = 5050.
(Para averiguar m´s sobre la vida de este notabil´
a
ısimo ni˜o, se puede ren
visar la p´gina web http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk /˜history /Matheamaticians /Gauss.html)
Figuras. La matem´tica tambi´n estudia figuras.
a
e
Supongamos que tenemos tres cuadrados en un plano de tal manera que
con uno de sus lados forman un tri´ngulo rect´ngulo (ver Figura 1).
a
a

A1
A2
A3

Figure 1
1Tenemos aqu´ un procedimiento general.
ı

Por ejemplo, para sumar del 1 al 1000,
sabiendo lo que ya sabemos, resulta f´cil, ¿no? 1 + 1000 = 1001; 2 + 999 =1001, etc.;
a
entonces multiplicamos: 1001 × 1000 = 1001000 y, para obtener finalmente la suma,
1 + 2 + · · · + 1000 = 1001000/2 = 500500.
Para escribir este tipo de procedimiento se inventa una cierta notaci´n.
o
La suma de Gauss:
n
X
n(n + 1)
.
i=
2
i=1

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¿QUE ES LA MATEMATICA?

3

¿Qu´ relaci´n hay entre las areas de estos cuadrados? Claramente A 1 es
e
o
´
mayorque A2 y que A3 . Bien. Pero ¿qu´ tan mayor es A1 ? O sea, ¿qu´
e
e
relaci´n hay entre A1 y A2 + A3 ?
o

A2
A1

A3

Figure 2
En el cuadradote de la izquierda de la Figura 2, aparecen cuatro tri´ngulos
a
con las medidas originales y aparecen tambi´n copias de los dos cuadrados
e
A2 y A3 ; en el cuadradote de la derecha tambi´n aparecen cuatro tri´ngulos
e
a
con las medidas...