Matematicas

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En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1 es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.
Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado. En estructuras algebraicasmás elaboradas, se definen además varias leyes de composición.
Con una ley de composición interna
Un Magma (o grupoide) es una estructura algebraica de la forma con A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna: .
1.- Operación interna: para cualesquiera par ordenado de elementos del conjunto AxA operados con , el resultado pertenece al conjunto A. Es decir:
.
Eltérmino magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki. Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática, por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.
Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma donde A es un conjunto donde se ha definido una operación binariainterna . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:
1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:
.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elemento,siempre dará el mismo resultado. Es decir:
.
Si además se cumple la propiedad conmutativa:
Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales: N con la operación suma: +. Que se representa: , podemos ver:
Es un operación interna, dado que la suma de dos números naturaleses otro número natural:
.
Es asociativa:
.
Y conmutativa:
.
Luego es semigrupo conmutativo o abeliano.
Otro ejemplo es el conjunto Z+ de los enteros positivos con las siguientes operaciones:
• la multiplicación
• la obtención del m.c.d.
• la obtención del m.c.m. es un semigrupo abeliano.
Un Cuasigrupo es una estructura algebraica similar a un grupo en el sentido de que la "división"es siempre posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos en que no poseen la propiedad asociativa. Un cuasigrupo con elemento neutro se llama bucle.
Algebra Universal En una estructura algebraica, la identidad es una ecuación en la que todas las variables están tácitamente cuantificadas universalmente , y en el que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivaspropias de la estructura. Las estructuras algebraicas que tienen solamente identidad (elemento neutro) se llaman variedades. Muchos resultados estándar del álgebra universal ocupan sólo de las variedades. Los cuasigrupos son las variedades en que la división izquierda y derecha se toman como primitivas.
Un cuasigrupo (Q, *, \, /) es un tipo de algebra (2,2,2) que satisface las identidades siguientes:• y = x * (x \ y) ;
• y = x \ (x * y) ;
• y = (y / x) * x ;
• y = (y * x) / x .
Por tanto, si (Q, *) es un cuasigrupo de acuerdo con la primera definición, entonces (Q, *, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal.
Un bucle es un cuasigrupo con un elemento neutro e de de tal manera que:
• x*e = x = e*x .
De ello se sigue que el elemento neutro e es único, y que cadaelemento de Q tiene un único inverso a izquierda y derecha.
En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y un elemento neutro. Los monoides son estudiados en la teoría de grupos, ya que en realidad, son semigrupos con un elemento neutro.
Un monoide es una estructura algebraica en el conjunto , con la operación binaria interna: ,...
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