Matematicas

Propiedades de orden
Dados dos números, a y b, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a es menor que b
b es menor que a
a es igual a b
Para describir el tamaño relativo de dos números reales, usamos los símbolos de orden < (menor que) y ≤(menor o igual a), las cuales se llaman desigualdades.
DEFINICIÓN 1. Si a y b son números reales, entonces
a<b significa b-a es positivo, esto es b-a>0
a ≤b significa a<b o a=b



Una desigualdad es una expresión a <b, que se lee "a es menor que b “, como b>a , se lee "b es mayor que a "; a ≤b, se lee " a es menor o igual que b ", también la desigualdad puede ser de la forma b ≥a, lo que se lee" b es mayor o igual que a”.


DEFINICIÓN 2. Sia, b y c son números reales, escribiremos
a<b< c
Cuando a<b y b< c

Teorema 1. Sean a, b, c y d numeros reales.
a Si a<b y b< c, entonces a<c
b Si a<b,entonces a+c<b+c y a- c<b-c
c Si a<b,entonces ac<bc cuando c>0 c es positivo
d ac>bc si c<0(c es negativo)
e Si a<b y c<d entonces a+c<b+d
(f) Si a,b sonambos negativos o ambos positivos y a<b entonces 1a>1b.
eSi a y b son ambos enteros positivos o negativas y a<b, entonces1a>

El teorema anterior se puede explicar en palabras como sigue:
(b) El sentido de una desigualdad no se modifica si el mismo número, se suma o resta de ambos lados de la desigualdad
(c) El sentido de una desigualdad no se modifica si ambas partes semultiplican por el mismo número positivo.
(d) pero se invierte el sentido de la desigualdad si se multiplican ambas partes por el mismo número negativo.

(f) Si ambos lados de una desigualdad tiene el mismo signo, entonces el sentido de la desigualdad se invierte, adoptando la inversa de cada lado.

INTERVALOS

De especial interés son conjuntos de números reales llamado intervalos.Geométricamente un intervalo es un segmento de recta. Por ejemplo, si a<b, entonces el intervalo cerrado de a a b es el conjunto.

{ x:a ≤ x ≤b}

Y el intervalo abierto de a a b es el conjunto.
{ x:a< x<b}
Estos conjuntos son mostrados en la Figura 4.

Intervalos cerrados y abiertos se denotan por los símbolos a,b y a,b,respectivamente, por lo que

a,b= { x:a ≤ x ≤b}
a,b={ x:a< x<b}

Un intervalo puede incluir un punto final y no el otro.
estos intervalos se llaman semiabierto (o algunas veces semicerrado). Por ejemplo.

[a,b)= { x:a ≤ x <b} semiabierto por la derecha.
(a,b]={ x:a< x≤b} semiabierto por la izquierda.

Un intervalo puede extenderse indefinidamente en cualquiera de lasdirecciones positiva o negativa, estos intervalos se denotan por

a,+∞=x:x≥a

-∞,b=x:x≤b

Solución de desigualdades .
En los siguientes ejemplos usaremos el teorema que nos describe las propiedades de las desigualdades, las soluciones de las desigualdades se pueden escribir como intervalos o como conjuntos de números.

Ejemplo 1. Resolver 2x-3<7.
Es decir, encontrar todos los números realesque satisfacen la desigualdad.
Solución. Si x es una solución, entonces
2x-3<7
2x <10 [Hemos sumado 3 a ambas lados de la desigualdad.]
x<5 [multiplicamos ambos lados por 12 ].
Asique la solución de la desigualdad es el intervalo -∞,5.

Ejemplo 2. Resolver la desigualdad 3+7x≤2x-9.
Solución
3+7x≤2x-9
7x≤2x-12 [Sumamos -3 a ambos lados.]5x≤-12 [Sumamos -2x a ambos lados.]
x≤-125 [Se multiplica ambos lados de la desigualdad anterior por 15]
-∞,-125

EJEMPLO 3. Resolver 7≤2-5x<9
Solución
7≤2-5x<9 [Dada.]
5≤-5x<7 [sumamos -2 a cada uno de los miembros.]
-1≥x>-75 [multiplicamos cada uno de los miembros por...