Matematicas

1.3 EL NÚMERO COMPLEJO  |

Introducción | |
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El ejemplo típico de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales es ó, ya que no existe ningún real x tal que su cuadrado sea un número negativo. De manera mas general, la ecuación: , con coeficientes a,b,c, no tiene solución real si  . Se hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los números reales a unconjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él. Dicho conjunto es llamado: Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C .   A continuación se describen las definiciones y los resultados más importantes relacionados con los números complejos. |
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1.3.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS ||
Definiciones.  i) El conjunto de los números complejos se define como :   C = ,es decir, C = .   ii) Al elemento (a,b)  C se le llama número complejo y, usualmente, se denota por  z = (a,b).

iii) En el complejo llamamos parte real del complejo z (Re(z)) a   la primera componente y parte imaginaria del complejo z (Im(z)) a la segunda  componente. Es decir, si z = (a,b), entonces, Re(z)= a y Im(z) = b .   iv) Un número complejo es real si su parte imaginaria es cero. Un número complejo es   un imaginario puro si su parte real es cero.  v) Al número complejo (0,1) se le llama unidad imaginaria y se denota por la letra i . Esto es , i = (0,1).

vi) Sean  y  dos números complejos, entonces : 
  y b = d  Es decir, dos números complejos son iguales sí y sólo si coinciden en suparte real y en su parte imaginaria.   Observaciones.  i) Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano. Esto es, la abscisa de cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria . Note que los complejos cuya parte imaginaria es nula ; es decir, los número de la forma z = (a,0) son puntos localizados sobre el eje delas abscisas o eje x. Puede demostrarse que los números complejos de la forma (a,0) tienen las mismas propiedades aritméticas que el número real a . Por esta razón, se puede identificar el número complejo (a,0) con el número real a. | Igualmente, los complejos cuya parte real es nula; es decir, los números de la forma z=(0,b) están localizados sobre el eje de las ordenadas o eje y. Por estarazón, algunos autores utilizan los términos eje real y eje imaginario para referirse, respectivamente, al eje x y al eje y del plano cartesiano.(Fig.1) |

1.3.2 Operaciones en C. En el conjunto C están definidas dos operaciones, denominadas respectivamente adición y multiplicación,de la siguiente forma:   Sean  y  dos números complejos.   i) ADICIÓN:  ii) MULTIPLICACIÓN: 

Se puede demostrarque, con estas dos operaciones, el conjunto C adquiere la estructura algebraica de campo. El elemento neutro de la adición es 0 = (0,0);el inverso aditivo de (a,b) es (-a,-b).El elemento neutro de la multiplicación es 1=(1,0) y el inverso multiplicativo de  es: 
   
  De este modo, las operaciones de DIFERENCIA y DIVISIÓN (por un divisor distinto de cero) pueden definirse de la siguienteforma:   iii) DIFERENCIA:  
 
  iv) DIVISIÓN:  ;   Esto, de acuerdo con la noción de inverso aditivo y multiplicativo.   Observación.  De la definición de unidad imaginaria y de la multiplicación entre complejos, se tiene:     y como el complejo (- 1,0) se identifica con el número real -1,se concluye entonces que:     De esta manera, se pueden establecer las potencias sucesivas de la unidadimaginaria i, así:  ;  ;  ; .   En forma similar ,   ;  ;  ; ,etc…   Note que si el exponente es de la forma 4k con k entero positivo, entonces :     En general ,si el exponente es un natural n> 4, al dividir n por 4, se tiene :   n = 4q + r ,donde r = 0,1,2,3 y, en consecuencia ,     reduciendo así la potencia de  a uno de los cuatro casos considerados inicialmente.   1.3.3 Forma binómica de los...