Matematicas

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORIA DE CONJUNTOS

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL:

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y
por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características
(es decir, la proposición lógicaque caracteriza a los elementos de cada conjunto);
entonces se tiene la siguiente correspondencia:
  
 
conjuntos | A  B | A = B | A  B | A  B | A' | A  B | A  B |
proposiciones | a  b | a b | a  b | a  b | a' | a  b' | a  b |

TEORIA DE CONJUNTOS

Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se lesdenomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo:
A= {m, t, h}
B= {Los departamentos de Colombia}
1. DETERMINACION DE CONJUNTOS:
Los conjuntos pueden ser expresados de las siguientes formas:
Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de suselementos.
Ejemplo
B= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza  a sus elementos.  
Ejemplo
B= {Países libertados por Simón Bolívar}

2. RELACION DE PERTENENCIA:
Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A…, 6 ϵ A.
Si unobjeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A

3. RELACION ENTRE CONJUNTOS
A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.
Ejemplo:
Sea: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {3, 4, 5}
Luego: (B ⊂A) Pero (A ⊄ B)

B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos soniguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.
M = {2, 3, 4, 5} y otro N = {3, 2, 5, 4},
C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.
M = {2, 3, 4, 5} y otro N = {2, 3, 4, 5, 6},

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son comparables sólo cuando uno de ellos está incluido en el otro.
A ={domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}
B = {domingo, sábado},

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.
A= {Pedro, Juan, María, Isabel y Rosa} y B: {Los cinco carros}

F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos.
A= {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves,viernes, sábado}
B= {sala, cocina, baño, habitaciones, comedor, galería}

4. CLASES DE CONJUNTOS:
A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último.
A= {Municipios de Colombia}
B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elemento es ilimitado.
N= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

5. CONJUNTOS ESPECIALES:
A) Conjunto vacío:Conjunto que no tiene elementos.
A= {Elefantes del zoológico de la Escuela General Santander}
B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton, es aquel que tiene un solo elemento.
A= {La luna}
C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = {aves} B = {peces} C = {anfibios} D = {tigres}
Existe otroconjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales

U = {animales} Este sería el conjunto universal.
D) Conjunto Potencia o conjunto de partes:
Conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con un conjunto dado.
Ej.: Sea A = {a, b, c} entonces los subconjuntos de A son:
{a},{b},{c},{a;b},{a;c}, {b;c}, {a;b;c}

6. CONJUNTOS DE NÚMEROS:...