Matematicas

C.E.Te.C Carrera: Técnico Superior En Análisis De Sistemas Asignatura: Matemática I

Determinantes

UNIDAD V: DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada A de orden n de elementos aij se llama Determinante de A y se simboliza A, al número real que se obtiene de la siguiente manera: ∗ Si A es de orden 1, esto es: A = [a11 ] entonces A = a11 ∗ ∗ a  a a a Si A es de orden 2, esto es: A =  11 12 entonces A = 11 12 = a11.a22 − a12 .a21 a21 a22  a21 a22  Si A es de orden 3 entonces A se puede obtener aplicando la Regla De Sarrus:  a11 a12 A =  a21 a22   a31 a32  a13  a11 a12  entonces A = a a23 a22 21  a33  a31 a32  a13 a23 a33

(+)
a11 a12 a21 a22 a31 a32 Es decir que: a13 a23 a33

(-)
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33

A = ( a11.a22 .a33 + a21.a32 .a13 + a12.a23 .a31 ) − ( a13.a22 .a31 + a12 .a21.a33 + a23 .a32 .a11 ) Observación: Otra forma de resolver el determinante por la Regla De Sarrus es, agregando las dos primeras filas debajo de la tercer fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercer columna y calcular, en cualquiera de los dos casos, los productos de las diagonales. a11 A = a21 a31 a11 a21 A = a31 a11 a21 Ejemplo:  -1 2 0  A = 1 -1 2     0 3 1   ∴ A = ( ( −1).( −1).1 + 2.2.0 + 1.3.0 ) − ( 0.( −1).0 + 2.3.( −1) + 2.1.1) = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + (−6) + 2 ) = 1 − (−4) = 5 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a12 a22 a13 a23 a33 a13 a23 a33 a13 a23 a11 a21 a31 a12 a22 a32

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Otra forma deresolverlo sería: −1 2 0 − 1 2 A = 1 −1 2 1 −1 = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + ( −6) + 2 ) = 1 − ( −4) = 5 0 3 1 0 3 -1 1 A= 0 -1 1 2 -1 3 2 -1 0 2 1 = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + ( −6) + 2 ) = 1 − ( −4) = 5 0 2

*Si A es de orden 4 entonces el desarrollo del determinante es más largo y no hay una regla sencilla para calcularlo. Existen varios métodos para calcular determinantes, en general de orden n, sólo veremosalgunos de ellos.

Submatrices:
Definición: Una submatriz de una matriz A de orden m x n, es una matriz que se obtiene suprimiendo de A una o más filas y/o una o más columnas. En particular trabajaremos con submatrices cuadradas de orden n y escribiremos Aij para representar la submatriz de A que se obtiene al suprimir de A la i-ésima fila y la j-ésima columna. Ejemplo:  1 3 -2 4   1 0 2 7 A=   6 1 8 4    -1 -1 2 0   1    A13 =  6    -1 algunas submatrices de ella pueden ser:  1   A22 =  6   -1    0 7 1 4  -1 0   -2 4  8 4  2 0 

Si suprimimos las filas 1 y 4, y las columnas 2 y 3, obtenemos la submatriz: 1 7  A14,23 =   6 4

Menor Complementario:
Definición: Dada la matriz cuadrada A de orden n, se llama menor complementario delelemento aij al determinante de la submatriz Aij de A, es decir, al determinante de la matriz que resulta de suprimir la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A. Al menor complementario lo indicaremos Mij, por lo tanto: M ij = Aij Ejemplo:  3 -1 Si B =   2 4   M 11 = B11 = 4 = 4  entonces:   M 21 = B21 = −1 = −1 

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 1 -1 2  Si A =  0 1 -1    -1 2 1   

-1   M 21 = A21 = 2  entonces:  M = A = 1 32  32 0 

2 = ( ( −1).1) − ( 2.2 ) = −1 − 4 = −5 1 2 = (1.( −1) ) − ( 2.0 ) = −1 − 0 = −1 -1

Adjunto O Cofactor:
Definición: Se llama adjunto o cofactor del elemento aij al menor complementario de ese elemento precedidode un signo positivo o negativo según sea i+j par o impar y se indica Cij. Es decir: cij = ( −1) Ejemplo:  4 1 -1 B =  0 -2 2     2 -1 0   
i+ j

. M ij = ( −1)

i+ j

. Aij

⇒

C23 = ( −1)

2+ 3

. B23 = ( −1) .
5

4 1 = ( −1). ( 4.( −1) − 1.2 ) ( −1).( −6) = 6 2 −1

Habiendo definido menor complementario y adjunto o cofactor, podemos desarrollar determinantes de...