Matemática

ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN

La integración depende, en última instancia, del empleo adecuado de las formas básicas de integración. Cuando en un caso no sucede esto, a menudo es posible transformar la integral de modo que se puedan aplicar las formas básicas. Los artificios más comunes son:
a. Integración por parte
b. Integración de funciones racionales
c. Empleo de sustitución

Integraciónde funciones racionales
Una fracción racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales enteras, es decir, funciones en que la variable no está afectada de exponente negativos o fraccionarios. Si el grado del numerador es igual o mayor al denominador, la fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador por el denominador. Pero, si el grado delnumerador es menor que el del denominador es necesario descomponerla en fracciones parciales más simples

Teorema: La integral de toda función racional cuyo denominador es posible descomponer en factores reales de primer y segundo grado, puede hallarse y puede expresarse en términos de funciones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas inversas; es decir, en términos de las funciones elementales.Caso I. Los factores del denominador son todos de primer grado, y ningún factor se repite.

Cundo aparecen factores no repetidos de primer grado como px + q, le corresponde a cada factor, una fracción parcial de la forma

Apx+q

Ejemplo:

2x+3x3+x2-2xdx

Solución:
Tomamos la fracción y la descomponemos así

2x+3x3+x2-2x=2x+3xx-1(x+2)=Ax+Bx-1+Cx+2

Ahora el problema se reduce encalcular los valores de A, B y C. Si multiplicamos la expresión por el denominador:

2x + 3 = A(x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 1)

Si igualamos a "0" cada factor tenemos:
x = 0 => x = 0; entonces 3 = -2A; A = -3/2
x-1=0=>x= 1; entonces 5 = 3B, B = 5/3
x + 2 = 0 => x = -2; entonces - 1 = 6C; C = -1/6
Por lo tanto la integral
2x+3x3+x2-2xdx

=-32dxx+53dxx-1-16dxx+2=-32lnx+53lnx-1-16lnx+2+c
=ln(x-1)53x32(x+2)16+c

Caso II. Los factores del denominador son todos de primer grado, y algunos se repiten.

A todo factor de primer grado repetido n veces, como (px + q)n, le corresponde la suma de n fracciones parciales de la forma:

A(px+q)n+B(px+q)n-1+…+M(px+q)

Ejemplo.

x3+1x(x-1)3dx

Solución:

Como x — 1 aparece tres veces como factor, su descomposición serefleja en igual número de veces:

x3+1x(x-1)3=Ax+B(x-1)3+C(x-1)2+D(x-1)

El paso siguiente es determinar los valores de A, B, C, y D así:

x3 + 1 = A(x - 1)3 + Bx + Cx(x - 1) + Dx(x - 1)2

x = 0; entonces 1 = —A ∴ A = — 1
x = 1; entonces- 2 = B ∴ B = 2
x = — 1; entonces 3 = C — 2D ∴ C = 1 Λ D = 2

Por lo tanto la integral

x3+1x(x-1)3dx

=-dxx+2dx(x-1)3+dx(x-1)2+2dxx-1=-lnx-1(x-1)2-1(x-1)+2lnx-1+c

=-x(x-1)2+ln(x-1)2x+c

Caso III. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos factores se repite.

Cundo aparecen factores no repetidos de segundo grado como x2 +px + q, le corresponde a cada factor una fracción parcial de la forma:
Ax+Bx2+px+q

Ejemplo

4x3+4xdx

Solución:
Descompongamos en factores al denominador:4x3+4x=4x(x2+4)=Ax+Bx+Cx2+4

Quitando denominadores

4=A(x2+4)+x(Bx+c)=(A+B)x2 +Cx+4A
4A=4; entonces A=1
C=0; entonces C=0
A+B =0, entonces B=-1

Por lo tanto la integral
4x3+4xdx

=dxx-xx2+4dx

=lnx-12lnx2+4+c

=lnxx2+4+c

Caso IV. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.

A todo factor de segundo grado repetido n veces, como (x2 + px + q)n, lecorresponde la suma de n fracciones parciales de la forma


Ax+B(x2+px+q)n+Cx+D(x2+px+q)n-1+…+Lx+Mx2+px+q


Ejemplo

2x3+x+3(x2+1)2dx

Solución:
Como la potencia es 2, le corresponde la suma de dos fracciones parciales así:

2x3+x+3(x2+1)2=Ax+B(x2+1)2+Cx+Dx2+1

Quitando denominadores
2x3 + x + 3= Ax + B + (Cx + D)(x2 + 1)

2x3 + x + 3= Cx3 + Dx2 + (A + C)x + (B + D)

C = 2;...