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Factorizaci´ n de Polinomios o
Profesora Ericka Salas Gonz´ lez a 19 de marzo de 2006

´ Indice general
0.1.

Q UE ES FACTORIZAR UN POLINOMIO
0.1.1. Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2. Factorizar . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.

´ FACTORIZACI ON POR FACTOR

0.2.1. Factor Com´ n Monomio . . . . . . . u 0.2.2. Factor Com´ n Polinomio . . . . . . . u 0.3.

´ ´FACTORIZACI ON POR F ORMULAS N OTABLES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ C OM UN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

0.3.1. Factorizaci´ n Diferencia de Cuadrados . . . . . o 0.3.2. Factorizaci´ n de un Trinomio Cuadrado Perfecto o 0.4. R ESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . 0.4.1.Respuestas del Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . 0.4.2. Respuestas del ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . 0.4.3. Respuestas del Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . 0.4.4. Respuestas del Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3 3 8 12 12 18 22 22 23 23 25

1

Factorizaci´ n de polinomios o

0.1.
0.1.1.

Q UE ES FACTORIZAR UN POLINOMIO
Factor

Se les denomina factores de un polinomio,a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresi´ n. o Ejemplo: Producto Factor Factor

a2 − b2 = (a + b) (a − b)

0.1.2.

Factorizar

Factorizar un polinomio es convertirlo en el producto indicado de sus factores. Ejemplo: 12 = 3 · 4, en este caso la expresi´ n 3 · 4 es la factorizaci´ n de 12 o o 12 = 3 · 2 · 2, esta es otra factorizaci´ n de12, llamada Factorizaci´ n completa o o y de ella hablaremos mas adelante. Nota Tambien ser´a bueno recordar que los resultados por cuestiones de orden se dan orı denados en forma descendente con respecto a una de las variables( esto no quiere decir que si no se hace el resultado sea incorrecto). Ejemplo: x + 1 + x2 = x2 + x + 1 Cuando una vez ordenado el polinomio, el primer t´ rmino sea negativotambie en por cuestiones de orden factorizaremos un −1, as´,por ejemplo: ı −x2 + x − 1 = −1(x2 − x + 1)∗ = −(x2 − x + 1) Prof. Ericka Salas Gonz´ lez a 2

Factorizaci´ n de polinomios o ∗Cuando extraemos un menos (-1) delante de un parentesis, lo que esta dentro del par´ ntesis cambia de operaci´ n; pero esto es una cuesti´ n puramente opcional. e o o

0.2.
0.2.1.

´ ´ FACTORIZACI ON PORFACTOR C OM UN
´ Factor Comun Monomio

Si en todos los t´ rminos del polinomio existe uno o varios factores comunes(que e pueden ser n´ meros o letras) la factorizaci´ n de este polinomio es igual al prou o ducto que da de multiplicar este factor por el resultado de dividir cada t´ rmino del e polinomio por ese factor. Recuerde que: para dividir potencias de igual base se conserva la base y serestan los exponentes, asi: x4 ÷ x2 = x4−2 = x2 Recuerde: Cuando dos o mas numeros tienen como factor comun solamente el UNO se llaman primos entre si o coprimos o primos relativos. Ejemplo: 25 25 12 12 1

Ejemplo 1: x2 + 2x − x3 =⇒ si analizamos este polimonio el factor x esta presente en todos los t´ rminos;se toma entonces la x de menor exponente en este caso x que e esta elevada a la primerapotencia y se dice entonces que x es el factor com´ n; u luego se divide cada uno de los ternimos del polinomio entre el factor com´ n: u
x2 x 2x x x3 x

=x =2 = x2

y se escribe asi: x(x + 2 − x2 ) =⇒ lo que esta dentro del parentesis es el resultado de dividir cada uno de los t´ rminos del polinomio original entre x. e Tenemos entonces que: x2 + 2x − x3 = x(x + 2 − x2 ) = x(−x2 + x + 2) =−x(x2 − x − 2) Prof. Ericka Salas Gonz´ lez a 3

Factorizaci´ n de polinomios o

Y como resultado final: x2 + 2x − x3 = −x(x2 − x − 2) Ejemplo 2: 10b2 − 5b + 15b3 =⇒ si analizamos el polinomio notaremos que b es factor com´ n del polinomio, sin embargo en estos casos tambien hay tomar en cuenta el u factor com´ n numeral que para este ejemplo ser´a tomar 10, 5 y 15 y factorizaru ı los hasta...