Matlab trapecio

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
REGLA TRAPEZOIDAL

Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque1@hotmail.com
Objetivos: Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor asumiendo cada sub área como un pequeño trapecio. Temas: Cálculo de áreas. Método de los trapecios. Programación del método de los trapecios. Cálculo del áreade múltiples funciones en base a subclases. Cálculo de áreas Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y b:

Fig. 1

En donde la función f (x) y los valores a y b son valores conocidos. a se consideracomo el limite inferior y b se considera como límite superior. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones: Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área. Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, lacomplejidad de las funciones hace imposible (o Universidad Surcolombiana 1 de 18

Yamil Armando Cerquera Rojas difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo. REGLA TRAPEZOIDAL O REGLA TRAPECIAL. La Fig. 2 muestra de color verde como sería el cálculo del área bajo la curva de la función f (x ) entre los límites a y b si se dividiera dichasubarea en un solo trapecio. El error que se cometería sería demasiado grande con respecto al área real que se desea obtener. Dependiendo de la forma de la curva el error que se cometería sería por exceso o por defecto. En el caso del ejemplo, el error seria por defecto, es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al valor real del área.

Fig. 2

Si se divide el intervalo (áreaa calcular) en mas de una sub área, en el caso de la Fig. 3 (dividida en 3 sub áreas), el error en le cálculo de la integral o área total, se disminuye.

Fig. 3

La estrategia más simple y que evitaría menor error en el cálculo, consiste en subdividir el intervalo pedido para el cálculo del área en n sub intervalos de

Universidad Surcolombiana

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Yamil Armando Cerquera Rojaspequeño tamaño y aproximar el área como la suma de las áreas de cada uno de los trapecios que se forman:

Fig. 4

De la Fig 4 se puede deducir que dx = (b − a ) / n . Si n es suficientemente grande (delta sería suficientemente pequeño), el área de los trapecios será aproximadamente el área pedida. El área total que correspondería a la suma del área de cada uno de los trapecios se calcula de lasiguiente forma: Se determinan los puntos del eje x que delimitarán cada trapecio. Estos puntos son: xi= a+i*dx, con i= 0, 1, 2, ..., n Se evalúa la función f en cada uno de los puntos Xi: yi= f(xi), i= 0, 1, 2, ..., n Se calcula el área de cada trapecio como: ai= (yi+y(i+1))*dx/2, i= 0, 1, 2, ..., n-1 Se suman las áreas de cada uno de los trapecios. DEDUCCION DEL MÉTODO DEL TRAPECIO: (Deduccióndel método desde los Polinomios de Interpolación) Corresponde al caso donde n=1, es decir:

∫

b

a

f ( x)dx ≈ ∫ f1 ( x)dx
a

b

Donde f1(x), es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos: x y a f(a) b f(b)

Del capítulo de interpolación y observando la Fig. 5, se sabe que este polinomio de interpolación puede expresarse mediante la expresión:

f (b) − f(a) f ( x) − f (a) = b−a x−a
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Yamil Armando Cerquera Rojas

Fig 5

f (b) − f (a) ( x − a) = f ( x) − f (a) b−a

f1 ( x) = f (a ) +

f (b) − f (a) ( x − a) b−a

Integrando este polinomio, se tiene que:

∫ f ( x)dx ∫
1
a
a

b

b

f (b) − f (a )  ( x − a) 2  f 1 ( x)dx = f (a ) x +  2  b−a  a

b

∫
a

b

f (b) − f (a )  (b −...