Matrices de transicion

Ciencia…Ahora, Nº 20, año 10, septiembre – octubre 2007

MATRICES DE TRANSICIÓN Y CADENAS DE MARKOV
Juan Espinoza B. Facultad de Agronomía UdeC

Existen muchas situaciones en las cuales es posible aplicar matrices, para esto consideremos situaciones en la que se separa a la población en dos o más categorías o estados. Por ejemplo, podemos separar los ciudadanos de un país de acuerdo a: Susingresos, en las categorías: pobre, ingresos medio o rico. Las migraciones del campo a la ciudad; o del norte al sur. La movilidad intergeneracional de padres a hijos, en relación al nivel educativo. La preferencia por una determinada marca de bebidas. En general al hablar de población nos estaremos refiriendo a gente, pero esto no es esencial. Podemos clasificar los automóviles de acuerdo a sifuncionan o no, el riesgo de poner o cambiar nuestros ahorros de la AFP en un determinado tipo de fondo A, B, C, D; o bien, estudiar los patrones de cambio de uso de suelo en una ciudad de rápido crecimiento. Estamos interesados en cómo la distribución de una población entre estados puede cambiar durante un período de tiempo. Las matrices y su multiplicación pueden desempeñar un papel importante endichas consideraciones, para esto se utilizan las matrices de transición. Matrices de Transición La tendencia de una población a moverse entre n estados se puede describir a veces mediante una matriz de n x n. Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1, estado 2 y estado 3. Se supone que conocemos la proporción tij de la población del estado j, que se mueveal estado i en determinado período de tiempo fijo. Obsérvese que dirección del movimiento del estado j al estado i va en orden de derecha a izquierda de los subíndices en tij . La matriz T = (tij ) se llama matriz de transición.
Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en Estado 1: pobre Estado 2: ingresos medios Estado 3: rico Supongamos que en cadaperíodo de 20 años tenemos los siguientes datos para la población y su descendencia: De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica;

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de la gente con ingresos medios, el 15% pasó a pobre, y el 10% a rica; de la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios. El registro tij de la matriz de transiciónT, representa la proporción de la población que pasa del estado j al estado i, no el porcentaje. Para el estado 1 (esto es la columna 1 de la matriz de transición T). El dato de que el 19% de los pobres (estado 1) pasará a ingresos medios (estado 2) significa que debemos tomar t21 = 0,19 . Del mismo modo como, como el 1% de la gente del estado 1 (pobre) pasa al estado 3 (rico), debemos anotar t31= 0,01 . Ahora t11 representa la proporción de gente pobre que sigue siendo pobre después de 20 años. Como es el 80%, debemos escribir el registro t11 = 0,80 . Siguiendo de esta manera y comenzando con el estado 2 (para la columna 2), se tiene, t12 = 0,15 t 32 = 0,10 con lo cual se obtiene t 22 = 0,75 ; y

finalmente, para el estado3 (columna3) se tiene t13 = 0,05 t 33 = 0,65 . De esta forma lamatriz de transición que describe estos datos es

t 23 = 0,30

entonces

pobre medio rico  0,80 0,15 0,05  pobre  T=   0,19 0,75 0,30  medio  0,01 0,10 0,65  rico   Obsérvese que: 1) las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población que no cambia de estado en un período de 20 años; 2) un registro de la matriz da la proporción de la población delestado superior del registro que pasa al estado de la derecha del registro en un período de 20 años. 3) la suma de los registros de cada columna de la matriz T es 1, pues la suma refleja el movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte superior de la columna. Supongamos ahora que las proporciones de toda la población ubicada en los distintos estados al comienzo de un período...