Matrices Mágicas


Matrices Mágicas
Realice en la siguiente matriz los pasos que se
indican:
PASO 1- Escoja un número cualquiera de la matriz
y enciérrelo en un círculo.
PASO 2- Tache trazando con una raya los números
que pertenecen a la misma fila o columna del
número seleccionado.
PASO 3- Escoja otro número no tachado y realice
el paso dos.
PASO 4- Realice el paso tres, hasta que todos los
números esténescogidos o tachados.
PASO 5- Sume los números escogidos que han
sido encerrados en un círculo.
Si usted escribe la matriz de nuevo y realiza los
pasos anteriores en otro orden (iniciando en otro
número), notará que siempre obtiene el mismo
resultado. Una matriz que cumpla con esta
propiedad se llama Matriz Mágica.
Veamos un ejemplo con una matriz 4 x 4:
Si sumamos los números escogidos obtenemos:5+3+12+14=34
Prueba iniciar y seleccionar otros números para
verificar que siempre resulta 34 la suma de los
números seleccionados.
Hasta ahora las dos matrices que hemos planteado
parecen muy ingenuas, dado que se colocan en
orden los números 1, 2, 3, 4, 5, … en las casillas.
Fíjese en las matrices que aparecen a continuación
y cambiará de opinión:
¿Cómo construir una matriz mágica?
Analizaremos elproceso con una matriz 3 x 3.
A los valores a, b, c, x, y, z les llamaremos
generadores de la matriz mágica. Para formar
la matriz mágica basta llenar las casillas con la
suma respectiva de los generadores.
Analicemos el proceso de selección en la matriz
anterior. Al tomar el valor de una casilla (por ejemplo
a + y) y eliminar los valores de la fila y columna
correspondiente, con esto estamosgarantizando
que todas las sumas donde aparecen “a” o “y” han
sido descartadas. Similarmente ocurre con los
demás valores tomados.
Realicemos el proceso completo en la matriz:
Las casillas seleccionadas se suman (c+x) + (a+y)
+ (b+z) que como vemos es (a+b+c) + (x+y+z) lo
que es la suma de los generadores de la matriz.
Lo anterior significa que para construir una
matriz mágica, basta establecer losgeneradores,
completar la matriz y la suma de los números
seleccionados será la suma de los generadores
(positivos, negativos, fracciones y hasta números
complejos). Como si fuera poco, podemos construir
matrices mágicas utilizando la multiplicación en
vez de la suma (en este caso el resultado de la
matriz será la multiplicación de los generadores).
Veamos algunos ejemplos:
Algunos ejercicios sobrematrices mágicas:
Nota: Las soluciones ofrecidas no son necesariamente únicas.
1. Encuentre en cada caso el valor que representa
la letra en la matriz para que sea mágica.
2. Encuentre el valor de los generadores y complete
la matriz mágica.
Sabemos que: b+z=6 y la constante de dicha
matriz es 400.
COMO PASATIEMPO
La matriz mágica de la edad de un amigo
1. Solicite a una persona su edad. Ejemplo: 26años.
2. Seleccione los generadores (trate de
hacerlo mentalmente, una opción sería,
10+1+4+2+4+5=26), y construya la matriz:
3. Preséntele finalmente la matriz:
4. Solicite que aplique el algoritmo que vimos y lo
sorprenderá al obtener su edad.
Por supuesto que, puede generarse una matriz de
4 x 4 ó de orden mayor.
SUMA:
10 2 a
11 3 4
12 4 5
R/ a = 3
4 a b
5 d 3
e 5 f
R/ a = 3
b = 2
d = 4
e = 6
f= 4
MULTIPLICACIÓN:
1/2 2/3 1/4
1 b c
a 2 3/4
R/ a = 3/2
b = 4/3
c = 1/2
SUMA:
a 10 c d
25
25
50
10
20
30
b 50
R/ a = 5
b = 40
c = 15
d = 20
MULTIPLICACIÓN:
10
8
x 4 z
2
a
b
R/ a = 2
b = 5
x = 5
z = 1
2 4 5
12 14 15
3 5 6
6
10
1
4 8 9
12 14 15
3 5 6
6 8 9
RALLY MATEMÁTICO EN EL LICEO FRANCO
(I edición)
Problema 1: CAJA DE FICHAS
Nota: Debemos aclarar que el problema tuvo un
error en el texto puesal final de lo expuesto, antes
de la pregunta, se plantea: “ Cuando la caja está
vacía, Pascal tiene 10 fichas”. El texto completo
debe ser: “Cuando la caja está vacía, Pascal tiene
Solución: 10 fichas más que Fermat”.
Una forma de enfrentar el problema es mediante la construcción de una tabla como la siguiente:
En la jugada 20 se observa que Pascal tiene 10 fichas más que Fermat de donde se...