matrices rectangulares

Espacios Vectoriales
Jaime Cerda Jacobo
Facultad de Ingenieria Electrica
Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo

En el capitulo anterior hemos estado tratando con matrices cuya condicion era que fuesen cuadradas. Fuimos capaces de detectar
que los sistemas de ecuaciones lineales no siempre tienen solucion. En particular vimos, en la interpretacion por renglones, que
no haysolucion cuando no hay un punto comun a todos los hiperplanos que representan las ecuaciones del sistema. La eliminacion Gaussiana nos ayudo a simplificar el sistema formado por las ecuaciones, pero no nos dio ninguna informacion extra acerca
de lo que pasaba si el sistema no tenia solucion. Sin embargo en nuestra interpretación por columnas, hemos sido capaces de
descubrir algunas cosas extras, porejemplo cuando uno de los sistemas no tuvo solucion, es porque las ecuaciones en 3 formaban un plano por lo cual jamas ibamos a poder alcanzar el punto b que estaba fuera de ese plano, esto si fue entendido nos dara
una gran ventaja en la comprension de los espacios vectoriales. En general, hemos sido capaces de ver que las ecuaciones que
teniamos en 3 , representaban un plano cuyos elementospertenecen también a 3 . Cuando estabamos en 2 , las ecuaciones
representaban rectas cuyos elementos pertenecian tambien a 2 . Este tipo de relaciones será n
formalizados mediante los conceptos de espacios y subespacios vectoriales.

Espacios y subespacios vectoriales

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C2-EspaciosVectoriales.nb

Resolviendo Matrices Rectangulares
En la seccion anterior vimos los conceptos de espacio ysubespacio vectorial. Mostramos dos espacios que estan asociados a
toda matriz, uno el espacio columna de A i.e. (A) y otro el espacio nulo de A i.e. (A). Para matrices que son invertibles, el
espacio columna abarca todo n , y para estas el espacio nulo esta conformada por el subespacio {0}. Sin embargo hay matrices
que, como en el ultimo ejemplo, sus columnas no son independientes y por lotanto el espacio columna solamente cubre parte de
n
, veremos que en este caso seguramente el espacio nulo de A consistira de algo mas que solo el elemento 0. Estas preguntas
seran resueltas en esta seccion. Sin embargo, antes de entrar en materia, es necesario establecer dos hechos y su consecuencia.
Existe un conjunto de vectores x, tales que al aplicarles (i.e. multiplicarlos por) la matriz asus elementos, estos se transforman en
0, llamemosle a este conjunto x . En el otro lado tenemos un conjunto de vectores x tales que al aplicarles la matriz a sus
elementos, estos se transforman en b, llamemosle a este conjunto x . Dado lo anterior, entonces A x
Ax
0 + b, por lo cual
A x
x
b. Es decir, la solucion al SEL A x b es equivalente a A x
x
b. Lo anterior expresa que a cualquiersolucion x podemos sumarle cualquier solucion x y el resultado no se alterara i.e. la combinacion original de las columnas de
A tambien da como resultado b.
Para esto modificaremos nuestra matriz original A, insertaremos una columna entre la primera y la segunda columna y añ adire
mos una columna al final. Estas dos columnas estaran en funcion de las primeras dos columnas originales:
A=[A1 2A1 A2 2 A1

A2 ]

esto es:
2 4 1 5
A= 1 2 2 4
1 2 1 3
Antes de entrar al calculo de tales espacios, primero llevaremos a A, mediante una serie operaciones elementales de renglones, a
una forma reducida, a la cual llamaremos R, en donde las columnas que son independientes quedaran como una columna unitaria, con el uno precisamente donde se encuentra el pivote de tal columna. Las columnasdependientes seran diferentes de cero.
Comenzemos pues este proceso llevando nuestra matriz A, a la forma anteriormente (i.e. R) mencionada tenemos

A

2 4 1 5
1 2 2 4
1 2 1 3

R2

U

0 0

3
2

0 0 0 0

Es decir R

1
2

2 4 1 5

2 4 1 5
R1

0 0

3
2

R3

3
2

1

R3

2

R1

R3

R3

2
3

R2

2 4 0 4
0 0

3
2

0 0
0 0

1 2 1 3

2 4...