Matrices y determinantes

Álgebra

2010

VI. Matrices y Determinantes
Objetivo
Se aplicarán los conceptos fundamentales de matrices, determinantes y sus propiedades a problemas que requieren de ellos para su resolución.

Definición de matriz
Matriz
Una matriz es un ente matemático equivalente a una tabla; es decir, es un arreglo de elementos de cualquier naturaleza (aunque, en general, suelen ser números) cuyaestructura está organizada en renglones y columnas. Matemáticamente, se llama matriz de m por n a un conjunto rectangular de elementos dispuestos en m renglones y en n columnas; una matriz con estas características tiene la forma ,

Las matrices se denotan con letras mayúsculas; por ejemplo, las matrices A, B ó C. Los elementos de las matrices se representan con letras minúsculas y subíndices queindican el lugar ocupado dentro de la matriz; por ejemplo, los elementos , y , pertenecen a las matrices A, B y C, respectivamente. La notación de los elementos de una matriz permite obtener una nueva representación para la matrices; en general, una matriz también pude escribirse como

El número de columnas y renglones de una matriz informan sobre una propiedad importante conocida como orden,dimensión o tamaño; es decir, el orden se define con el número de renglones por el número de columnas. Ejemplo 1.1. Sean las matrices A, B y C.

La matriz A tiene tres renglones y tres columnas, por lo que su orden es orden ; en tanto, la matriz C tiene un orden .
Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga

; la matriz B tiene un

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Igualdad de matrices

Al igual que losconjuntos numéricos o los polinomios, es posible definir la igualdad de matrices. Sean las matrices y Se dice que , si y sólo si , y ; es decir, la igualdad entre dos matrices se cumple si tienen el mismo orden, y además, el elemento que ocupa el renglón i y la columna j es el mismo en ambas matrices. Ejemplo 1.2. Sean las matrices W, X, Y, y Z.

es diferente del elemento , aún Las matrices W y Xno son iguales, ya que el elemento cuando tienen el mismo orden; las matrices X y Y sí son iguales, debido a que tienen el mismo orden, y el elemento es igual al elemento ; finalmente, las matrices Y y Z no son iguales, ya que su orden es diferente.

Operaciones con matrices

Las reglas que rigen las operaciones con matrices son similares a las establecidas en los campos numéricos ordinarios;la diferencia radica al utilizan tablas y sus correspondientes elementos, en lugar de números.

Adición

Dadas dos matrices A y B, del mismo orden m por n, su suma es una matriz de orden m por n, calculada sumando cada uno de los elementos homólogos de las matrices A y B; es decir,

Ejemplo 1.3. Sean las matrices

suma de P y Q se calcula del siguiente modo:

,

y

. La

En tantoque, la suma y la suma no existen, ya que el orden de P y Q ( ) no es el ). En este caso, se dice que las matrices P y R (o Q y R) son mismo que el orden de R ( inconsistentes para la suma.
94 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga

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La suma de matrices posee propiedades importantes, que son equivalentes a la suma numérica tradicional. Dadas las matrices A, B y C, las tres deorden , entonces se cumple 1. 2. 3. 4. La asociación La conmutación . La existencia del elemento neutro La existencia del elemento inverso . . .

La sustracción de matrices se cumple como un caso especial de la adición; es decir, dadas dos matrices A y B, su sustracción se obtiene como

Multiplicación

El producto dentro de las matrices presenta dos importantes variantes: el producto de matricesy el producto de una matriz por un escalar. Ambas variantes son uno de los aspectos en los cuales las operaciones con matrices se diferencian de las operaciones clásicas en los conjuntos numéricos, específicamente de la multiplicación. Multiplicación por un escalar Dados una matriz A de orden y un elemento numérico c (conocido como escalar), el producto se calcula al multiplicar el escalar por...