Matrices

1 Matrices

Tema 1

MATRICES Y DETERMINANTES

1.1 DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre paréntesis, por ejemplo
⎛ 2 −1 0 1 ⎞ ⎟ A = ⎜ −3 2 1 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0 4 −2 −2 ⎠

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, queindican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento Columnas ⇓ 1ª 2ª m-ésima
... a1m ⎞ 1ª ⎟ ... a 2m ⎟ 2ª  filas ... ... ⎟ ... ⎟ ... a nm ⎟ n − ésima ⎠

⎛ a11 a12 ⎜ a a 22 A = {a ij} = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎜a ⎝ n1 a n 2

Una matriz de n filas y m columnas se dice que es una matriz de orden n¥m y se representa por An¥m siendo n el nº de filas y m el nº de columnas.Definimos dimensión de una matriz como el número n¥ m de elementos que tiene; bien claro que, no será igual una matriz n¥m que una matriz m¥n, aunque tengan igual dimensión:
⎛ 1 −4 2 ⎞ A2¥3 = ⎜ ⎟ ⎝ −3 0 5 ⎠
⎛ 1 A3¥2 = ⎜ −4 ⎜ ⎜ 2 ⎝ −3 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 5 ⎟ ⎠

Orden 2¥3, dimensión 6
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

Orden 3¥2, dimensión 6

2 Matrices

Tema 1

Atendiendo al orden de una matriz,podemos definir:
i) Matriz cuadrada, matriz que verifica n = m, en este caso se escribe An o An¥n y se dice que es una matriz de orden n. ⎛1 4 7⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ⎟ A2 = ⎜ A3 = ⎜ 2 5 8 ⎟ ⎟ ⎝ 2 4⎠ ⎜ 3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ii) Matriz rectangular, matriz en la que nπm ⎛ 1 −4 A 2×3 = ⎜ ⎝ −3 0 ⎛1 ⎜ 0 =⎜ ⎜3 ⎜ ⎜1 ⎝

0 ⎞ ⎟ 0 ⎠

A 4×3

5 7 8 3

2⎞ ⎟ 4⎟ 0⎟ ⎟ 2⎟ ⎠

Casos notables: ii-a ) Matriz fila: es una matrizde orden (1¥m): ( a11 a12 .......a1m )
ii-b ) Matriz columna: es una matriz de orden (n¥1):
⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n1 ⎠

Atendiendo a sus elementos:
iii) iii_a) Matriz real, sus elementos son números reales: aij e — iii_b) Matriz compleja, sus elementos son números complejos aij e ¬ iii_c) Matriz nula, sus elementos son todos nulos ⎛0 ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 O =⎜ ⎟, O = ⎜ 0 0 0⎟ , O = ⎜ ⎟, O =⎜ 0 ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0 0⎠ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜0 ⎝

0 0 0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

3 Matrices
1.2 OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1

Sea Mn¥m el conjunto de las matrices de orden n¥m con elementos reales
1.2.1 Igualdad de matrices

Decimos que dos matrices del mismo orden A = {aij}, B ={bij} son iguales si
aij = bij "i,j ŒÕEs decir, tienen todos los elementos iguales y en el mismo orden.
1.2.2 Suma y diferencia de matrices

Dadas las matrices A = {aij}, B = {bij} se define A ± B como la matriz C = {cij} tal que
cij = aij ± bij Para realizar estas operaciones, las matrices deben ser del mismo orden y el resultado es una matriz de ese mismo orden. Ejemplo 1.1
⎛ 3 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ 4 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ B =⎜ −1 −1 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 2⎞ ⎜ ⎟ A−B=⎜ 0 1⎟ ⎜2 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4 2⎞ A + B = ⎜ −2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 0⎟ ⎝ ⎠

Propiedades de la suma: i) Asociativa: " A, B, C Œ Mn¥m : ii) Conmutativa:

A + (B + C) = (A + B) + C A+B=B+A

" A, B Œ Mn¥m :

iii) Elemento neutro: " A Œ Mn¥m , $ O Œ Mn¥m / A + O = O + A = A Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

4 Matrices iv) Elemento opuesto: " A Œ Mn¥m $ -A ŒMn¥m /

Tema 1

A + (-A) = O

A la matriz –A se denomina matriz opuesta de A y resulta de considerar la matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A. 1.2.3 Producto de un escalar por una matriz

Dado un escalar aŒ— y una matriz AŒ Mn¥m, se define el producto a · A =
A · a como otra matriz del mismo orden, que resulta de multiplicar a por cada

elemento de A:
⎛ a11 a12 ⎜a a 22 a · A =a · ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎜a ⎝ n1 a n 2 ... a1m ⎞ ⎟ ... a 2m ⎟ = ... ... ⎟ ⎟ ... a nm ⎟ ⎠ ⎛ α·a11 α·a12 ⎜ ⎜ α·a 21 α·a 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎜ α·a ⎝ n1 α·a n 2 ... α·a1m ⎞ ⎟ ... α·a 2m ⎟ =A·a ... ... ⎟ ⎟ ... α·a nm ⎟ ⎠

Ejemplo 1.2 ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎛ 5 ⋅1 5 ⋅ (−1) 5 ⋅ 0 ⎞ ⎛ 5 −5 0 ⎞ 5 ⋅⎜ ⎟= ⎜ ⎟=⎜ ⎟ 5 ⋅1 5 ⋅ 3 ⎠ ⎝ 10 5 15 ⎠ ⎝ 2 1 3 ⎠ ⎝5⋅ 2 Propiedades del producto de un escalar por una matriz: i)...