Matrices

Unidad Nº 8. Determinantes. Determinantes de orden 2 y 3.

8.1. Determinantes. Definición

Un determinante es un número que asociaremos a una matriz cuadrada y que nos va a servir para calcular matrices inversas, rangos de matrices y resolver sistemas de ecuaciones

* Determinantes de orden 2:

A determinante de A det(A) = |A|

Si A = a11a12a21a22;A=a11a12a21a22= a11·a22-a21·a12Ejemplos:

-1234=-1·4-3·2=-10

-1-12-4=4-(-2)=6

* Determinantes de orden 3:

A = a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-(a13a22a31+a12a21a33+a23a32a11)

Forma gráfica:

A=◊♣♥♥◊♣♣♥◊-♥♣◊♣◊♥◊♥♣

Ejemplos:

-20101-1-102=2·1·2+0+0-(-1+0+0)

-21301-1211=-2+-2+0-6+2+0=-12

Resuelve la ecuación:1202XX-1-21=0

X-2X-(0+4+-2X=0
X-2X-4+2X=0
X=4

8.2.Propiedades de los determinantes:

1) El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

Ejemplos:

1002-10311= -1

-1254011300-200002=-1·1·-2·2=4

2) A·B=A·B

Ejemplo1: A=-1201;B=0-122

A·B=-1201·0-122=4522

A·B=-2A=-1B=2

Ejemplo2: A·A-1=I

A·A-1=1
A·A-1=1
A-1=1A

3) El determinante de una matriz y su traspuesta soniguales

A=AT

A=a11a12a21a22; A= a11a22-a21a12
A=AT

AT=a11a12a21a22;AT= a11a22-a21a12

4) Si una fila o una columna de una matriz cuadrada es 0. Entonces, el valor del determinante será 0.

Ejemplo: -123000410=0

5) Si se multiplican o se dividen todos los elementos de una fila o una columna por un número k distinto de 0, el determinante queda multiplicado o dividido por k.Demostración:

ka11ka12a21a22; ka11a22-ka21a12=k(a11a22-a21a12)=ka11a12a21a22

Ejemplo1: 285-1=2145-1=2·-21=-42

Ejemplo2: 2-1231=-243-1=-1432

6) Si una fila o una columna está formada por términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la sula de los determinantes obtenidos sustituyendo los términos por los primeros y segundos sumandos respetivamente.a11+b1a12+b2a21a22; a11a12a21a22+b1b2a21a22

Ejemplo:2+X3-YZ012-111=230012-111+X-YZ012-111

7) Si se cambian entre dos filas o dos columnas en el determinante, el determinante cambia de signo.

Demostración:

a11a12a21a22; a11a22-a21a12

a21a22a11a12; a21a12-a11a22

Ejemplo1: 23-14; 8--3=11

-1423; -3-8=-11

Ejemplo2: ab-c-124400=--124ab-c400=400ab-c-124

8) Si dos filas o dos columnas soniguales entonces el determinante es 0.

Demostración:

a11a12a11a12; -a11a12a11a12

A=-A
2A=0
A=0

Ejemplo: 2-130112-13=0

9) Si dos filas o dos columnas son proporcionales el determinante es 0.

a11a12a13ka11ka12ka13a31a32a33=ka11a12a13a11a12a13a31a32a33=0

Ejemplo: -10-2214316=0

10) Si una fila o una columna es combinación lineal de otra entonces el determinante es 0.Demostración:

a11a12a13a21a22a232a11+3a212a12+3a222a13+3a23=a11a12a13a21a22a232a112a122a13+a11a12a13a21a22a233a213a223a23=0+0

Ejemplo:2231-14317=0

F3=F1+F2

11) Si a una fila o a una columna se le suma una combinación lineal de otra el determinante no cambia.

a11a12a21a22=a11a122a11+a212a12+a22=a11a122a112a12+a11a12a21a22=0+a11a12a21a22

Ejemplo: -123101-121=-12302400-2=4
F2+F1
F3-F1F2+F1
F3-F1

OJO: no se puede hacer lo siguiente

a11a12a21a22=a11a12a11+2a212a12+2a22
2F2+F1

8.3. Menor complementario y adjunto de un elemento:

a) Menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz obtenido al suprimir la fila i-sésima y la columna j-ésima.

A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33→ ∝23=a11a12a31a32
∝31=a12a13a22a23

Ejemplo:A=-1012-13011→ ∝12=2301=2
∝22=-1101=-1

b) Adjunto del elemento aij, se denota por Aij=(-i)i+j∝ij

Ejemplo: A=-1012111-13→ A11=(-1)1+111-13=111-13=4
A23=(-1)2+3-1021=--1021=-1
A31=+0111=-1

c) La matriz adjunta de A:

A=a11a12a21a22;AdjA=A11A12A21A22

Ejemplo: A=-1012111-13;(AdjA)=0-642-22020

A11=0023=0
A12=-20-13=-6
A13=+20-12=4
Hacer con el...